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用心 爱心 专心 高二数学高二数学高考复习:导数的应用高考复习:导数的应用人教实验版(人教实验版(B B) 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容: 高考复习:导数的应用 二. 教学目的: 通过高考或模拟题实例探究导数在高考中的应用 三. 知识分析: 【考点综述】 有关导数的内容,在 2000 年开始的新课程试卷命题时,其考试要求都是很基本的,以 后逐渐加深,考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算,力求结合应用问题,不过多 地涉及理论探讨和严格的逻辑证明,而近几年高考试题的设计,特别是 2007 年试题更突出 凡函数大题必与导数结合这一特征。本部分的要求一般有三个层次:第一层次是主要考查 导数的概念,求导的公式和求导法则;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的极值、 单调区间、证明函数的增减性等;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容 和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起,设计综合题,通过将新课 程内容和传统内容相结合,加强了能力考查力度,使试题具有更广泛的实际意义,更体现 了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法,这类问题用传统教材是无法解决的。 【例题探究】 【例 1】 (2003 年烟台统考)已知函数 f(x)x33ax23(a2)x1 既有极大值又 有极小值,则实数 a 的取值范围是 。 考查目的:考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解 决问题的能力。 解析:解析:f(x)3x26ax3a6,令 f(x)0,则 x22axa20 又f(x)既有极大值又有极小值 f(x)0 必有两解,即4a24a80 解得 a1 或 a2。 探究:本题通过求函数的导数,将函数问题转化为一元二次方程来探究,充分体现了 函数与方程相互转化的解题思想与解题策略。 【例 2】设函数 f(x)ax32bx2cx4d(a、b、c、dR)的图象关于原点对称,且 x1 时,f(x)取得极小值。 3 2 (1)求 a、b、c、d 的值; (2)当 x1,1时,图象上是否存在两点,使得过此两点的切线互相垂直?试证 明你的结论; (3)若 x1,x21,1时,求证:|f(x1)f(x2)|。 3 4 考查目的:本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以 及综合推理能力。 解析:解析:(1)函数 f(x)的图象关于原点对称,对任意实数 x,都有 f(x) 用心 爱心 专心 f(x) ax32bx2cx4dax32bx2cx4d,即 bx22d0 恒成立。 b0,d0,即 f(x)ax3cx f(x)3ax2c。 x1 时,f(x)取得极小值 f(1)0 且 f(1), 3 2 3 2 即 3ac0 且 ac 解得 a,c1 3 2 3 1 (2)证明:当 x1,1时,图象上不存在这样的两点使结论成立,假设图象上存 在两点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,使得过这两点的切线互相垂直, 则由 f(x)x21,知两点处的切线斜率分别为 k1x121,k2x221, 且(x121) (x221)1 (*) x1、x21,1, x1210,x2210 (x121) (x221)0,这与(*)相矛盾,故假设不成立 (3)证明:f(x)x21,由 f(x)0,得 x1 当 x(,1)或(1,)时,f(x)0; 当 x(1,1)时, f(x)0 f(x)在1,1上是减函数,且 fmax(x)f(1),fmin(x)f(1) 3 2 3 2 在1,1上,|f(x)| 3 2 于是 x1,x21,1时,|f(x1)f(x2)|f(x1)|f(x2)| 3 2 3 2 3 4 故 x1,x21,1时,|f(x1)f(x2)| 3 4 探究:若 x0点是 yf(x)的极值点,则 f(x0)0,反之不一定成立; 在讨论存在性问题时常用反证法; 利用导数得到 yf(x)在1,1上递减是解第(3)问的关键 【例 3】已知平面向量(,1) (,) a 3b 2 1 2 3 (1)证明;a b (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使(t23),kt,x a b y a b x ,试求函数关系式 kf(t) ;y (3)据(2)的结论,讨论关于 t 的方程 f(t)k0 的解的情况 考查目的:本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方 程根的个数间的关系以及综合应用能力。 解析:解析:(1)(1)0 a b 3 2 1 2 3 a b (2),0 即(t23)(kt)0 x y x y a b a b 整理后得ktk(t23) (t23)0 2 a a b 2 b 0,4,1,a b 2 a 2 b 用心 爱心 专心 上式化为4kt(t23)0,即 kt(t23) 4 1 (3)讨论方程t(t23)k0 的解的情况,可以看作曲线 f(t) t(t23) 4 1 4 1 与直线 yk 的交点个数 于是 f(t) (t21) t(t1) (t1) 4 1 4 3 令 f(t)0,解得 t11,t21当 t 变化时,f(t) 、f(t)的变化情况如下表: t (,1 ) 1(1,1)1 (1, ) f(t ) 00 f(t) 极大值 极小值 当 t1 时,f(t)有极大值,f(t)极大值 2 1 当 t1 时,f(t)有极小值,f(t)极小值 2 1 函数 f(t)t(t23)的图象如下图所示,可观察出: 4 1 (1)当 k或 k时,方程 f(t)k0 有且只有一解; 2 1 2 1 (2)当 k或 k时,方程 f(t)k0 有两解; 2 1 2 1 (3)当k时,方程 f(t)k0 有三解 2 1 2 1 探究:导数的应用为函数的作图提供了新途径。 【例 4】 (2004全国卷22)已知函数 f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx (1)求函数 f(x)的最大值; (2)设 0ab,证明:0g(a)g(b)2g()(ba)ln2 2 ba 考查目的:本题主要考查导数的基本性质和应用,对数函数性质和平均值不等式知识 以及综合推理论证的能力。 解析:解析:(1)函数 f(x)的定义域为(1,) ,f(x)1 x1 1 令 f(x)0,解得 x0 当1x0 时,f(x)0; 当 x0 时, f(x)0 用心 爱心 专心 又 f(0)0,故当且仅当 x0 时,f(x)取得最大值,最大值为 0 (2)证法一:g(a)g(b)2g() 2 ba alnablnb(ab)ln 2 ba aln 22 ln ab b abab 由(1)结论知 ln(1x)x0(x1,且 x0) 由题设 0ab,得0, 10 22 baab ab 因此, 2 lnln(1) 22 ababa abaa 2 lnln(1) 22 babab abbb 22 lnln0 22 abbaab ab abab 又, 2 2 aab abb 222 lnlnlnln() 2 ababb ababba ababbab 2 ln()ln2 b ba ab 综上 0( )( )2 ()()ln2 2 ab g ag bgba 证法二:( )ln ,( )ln1g xxx g xx 设则), 2 xa (g2)x(g)a (g)x(f . 2 xa lnxln ) 2 xa (g 2)x(g)x(f 当 0 xa 时,因此 f(x)在内为减函数;0)x(f(0, )a 当 xa 时,因此 f(x)在上为增函数0)x(f( ,)a 从而,当 xa 时,f(x)有极小值 f(a) 即0)b(f, ab, 0)a (f0( )( )2 () 2 ab g ag bg 设,则2ln)ax()x(f)x(g)xaln(xln2ln 2 xa lnxlnxg 当 x0 时,因此 g(x)在上为减函数。0)x(g), 0( , 0)b(g, ab, 0)a (g 即,综上,原不等式得证。( )( )2 ()()ln2 2 ab g ag bgba 【例 5】设函数,其中。 2 ( )ln(1)f xxbx0b (I)当时,判断函数在定义域上的单调性; 2 1 b ( )f x (II)求函数的极值点;( )f x (III)证明对任意的正整数,不等式都成立。n 23 111 ln(1) nnn 用心 爱心 专心 解:解:(I)由题意知,f(x)的定义域为,1, 2 22 ( )2 11 bxxb fxx xx 设,其图象的对称轴为 2 ( )22g xxxb), 1( 2 1 x , min 11 ( )() 22 g xgb 当时, 1 2 b min 1 ( )0 2 g xb 即在上恒成立。 2 ( )220g xxxb1, 当时,), 1(x . 0 )x(f 当时,函数在定义域上单调递增。 1 2 b ( )f x1, (II)由(I)得:当时,函数无极值点, 1 2 b ( )f x 时,0 有两个相同的解 1 2 b 2 1 2() 2 ( ) 1 x fx x , 2 1 x 时,) 2 1 , 1(x ( ) 0,fx 时, 1 , 2 x ( ) 0,fx 时,函数在上无极值点。 1 2 b ( )f x1, 当时,有两个不同解,。 1 2 b ( ) 0fx 1 11 2 2 b x 2 112 2 b x 时,0b 1 11 2 1 2 b x 2 11 2 1 2 b x 即), 1(x), 1(x 21 时,随 x 的变化情况如下表:0b )x(f)x(f、 x )x, 1( 2 2 x),x( 2 )x( f 0 )x(f 极小值 由此表可知:时,f(x)有惟一极小值点;0b 2 112 2 b x 当时, 1 0 2 b, 1 2 b211 x1 12 ,1,x x 此时,随 x 的变化情况如下表:)x(f)x(f、 x )x, 1( 1 1 x)x,x( 212 x),x( 2 )x( f 00 )x(f 极大值 极小值 用心 爱心 专心 由此表可知:时,f(x)有一个极大值点和一个极小值点 1 0 2 b 2 b211 x1 ; 2 112 2 b x 综上所述, 时,f(x)有惟一极小值点;0b 2 b211 x 时,f(x)有一个极大值点和一个极小值点; 2 1 b0 2 b211 x 2 b211 x 时,f(x)无极值点。 2 1 b (III)当时,函数1b 2 ( )ln(1).f xxx 令函数 332 ( )( )ln(1),h xxf xxxx 则. 1x ) 1x(x3 1x 1 x2x3)x(h 23 2 当时,所以函数 h(x)在上单调递增,), 0 x, 0)x(h), 0 又, 0)0(h 时,恒有即恒成立,), 0(x, 0)0(h)x(h) 1xln(xx 23 故当时,有,0,x 23 ln(1)xxx 对任意正整数,取则有,n), 0( n 1 x 23 111 ln(1) nnn 所以结论成立。 【模拟试题模拟试题】 一、选择题 1. 函数,则等于 ( ) 3 3 2cosyxxx y A. B. 223 6sinxxx 2 23 1 2sin 3 xx x C. D. 2 23 1 6sin 3 xx x 2 23 1 6sin 3 xx x 2. 设,则(0)为 ( )( )|1 |f xxx f A. 0 B. 1 C. 1 D. 不存在 3.
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