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人教版高中数学必修系列:10.3组合(备课资料)参考例题例1用0到9这十个数字可组成多少个无重复数字且能被18整除的八位数?解:因为18=29,而2与9互质,所以所求八位数的末位数应是偶数,且各位数字之和为9的倍数.因为0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以只能除去0与9,或1与8,或2与7,或3与6,或4与5中的一对后再进行分类.将上述情况分两类讨论:(1)去掉0与9,将2、4、6、8中任一个排在个位,有CA种;(2)去掉1与8,2与7,3与6,4与5中其中一对,有C种方法,下一步再分为 两类:0排在末位,有A种;0不排在末位(0有六个位置可选),末位可排三个,偶数其中之一,有 AAA种,总共有CA+ C(A+ AAA)=92160种方法.例2要从12人中选出5人去参加一项活动,按下列要求,有多少种不同选法?(1)A、B、C三人必须入选;(2)A、B、C三人不能入选;(3)A、B、C三人只有一人入选;(4)A、B、C三人至少一人入选;(5)A、B、C三人至多二人入选.解:(1)只需再从A、B、C之外的9人中选择2人,所以有C=36种不同选法.(2)由于A、B、C三人都不能入选,所以只能从余下的9人中选择5人,即有C=C=126种选法.(3)可分两步:先从A、B、C三人中选出1人,有C种选法,再从其余的9人中选择4人,有C种选法.所以共有CC=378种选法.(4)(直接法)可分三类:A、B、C三人只选一人,则还需从其余9人中选择4人,有CC=378种选法;A、B、C三人中选择二人,则还需从其余9人中选择3人,有CC=252种选法;A、B、C三人都选入,则只需从余下的9人中选择2人,有CC =36种选法.由分类计数原理共有378+252+36=666种不同选法.(间接法)先从12人中任选5人,再减去A、B、C三人都不入选的情况,共有C-C=666种选法.(5)(直接法)可分三类:A、B、C三人均不入选,有C种选法;A、B、C三人中选一人,有CC种选法;A、B、C三人中选二人,有CC种选法.由分类计数原理,共有C+ CC+ CC=756种选法.(间接法):先从12人中任选5人,再减去A、B、C三人均入选的情况,即C-C=756种选法.例3六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;(2)分为三份,每份两本;(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本;(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.解:(1)可分三步完成,先分给甲,有C种分法,再分给乙,有C种分法,余下两本给丙.由分步计数原理,共有CCC=90种不同分法.(2)由于问题(1)也可分以下两步完成:第一步:把6本书平均分成三份,设有x种分法;第二步:把分好份的书,再分给甲、乙、丙三人,有A种分法.根据分步计数原理,得xA= CCC,x=15.因此把六本书分成三份,每份两本,共有15种分法.(3)分三步完成,由乘法原理可得不同分法种数为CCC=60.(4)分两步完成,第一步先分份,由(3)知共有60种不同分法.第二步将分好份的书,再分给人,有A种分法.由乘法原理共有60A=360种不同分法.(5)可分为三种情况:一是题(1);一是题(4);还有一种是甲、乙、丙三人,两人各拿一本,一人拿四本,有CA=90种,所以共有90+360+90=540种不同分法.例4某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法?(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?(3)甲、乙二人至少有一人参加,有多少种选法?(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?解:(1)只需从其他18人中选3人即可,共有C=816种;(2)只需从其他18人中选5人即可,共有C=8568种;(3)分两类:甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有CC+C=6936种;(4)解法一:(直接法)至少一名内科一名外科的选法可分四类:一内四外;二内三外;三内二外;四内一外.所以共有CC+CC+CC+CC=14656种.解法二:(排除法)由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C-(C+C)=14656种.例5某出版社的11名工人中,有5人只会排版,4人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷.现从这11人中选出4人排版、4人印刷,有几种不同的选法?若只选3名只会印刷的工人,则还需从2名“全能”的工人中选1人印刷,4名排版工人只能从余下的6人中选取,有CCC种选法.若从4名只会印刷的工人中选2人,则2名“全能”的工人需都去印刷,4名排版工人只能全从5名只会排版的工人中选取,有CCC种选法.所以共有C+CCC+C CC =185种不同的选法.备课资料一、插入闸板法解组合问题例1某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队,参加市中学数学应用题竞赛活动,使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种?分析:由于12个名额是不可区别的,所以将问题转化成把排成一行的12个“0”分成7份的不同方法数,这样用6块闸板插在11个间隔中,共有C种不同的插法.所以所求选法种数为C=462种.示意图:0,|0,| 0,0,|0,0,| 0,0,|0,0,| 0,0,例26人带10瓶汽水参加春游,每人至少带1瓶汽水,共有多少种不同的带法?分析:将所求问题转化成10个相同的球放到6个不同的盒子里,每个盒子里至少放1个球,有多少种不同的放法.即把排成一行的10个“0”分成6份的方法数,这样用5块闸板插在9个间隔中,共有C=126种.即共有126种不同的带法.例3从一楼到二楼的楼梯17级,上楼时可以一步走一级,也可以一步走两级,若要求11步走完这楼梯,则有多少种不同的走法?分析:由题意可知这11步中,其中6步一步走两级,5步走一级.因此,要确定一种走法,只需确定这11步中,哪6步走两级即可,故不同的走法数为C=462种.例4如图从56方格中的顶点A到顶点B的最短路线有多少条?分析:从A到B的最短路线均需走11步(一步即为一个单位),即横向走6步,纵向走5步,因此,要确定一种走法,只需确定这11步中哪6步是横向走即可,故不同的走法数为C=462种.例5如果中日围棋擂台赛中,各方都出6名队员,按事先安排好的顺序出场,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,另一方获得胜利为止,形成一种比赛过程,问:其中中方获胜的所有可能出现的比赛过程有多少种?分析:易见中方只需取得6场比赛的胜利即可,且最多只需安排11场比赛,依次记为1,2,3,11,故要确定比赛过程,只需确定这11场比赛中哪6场是中方获胜即可.故可能出现的不同的比赛过程的种数即为从1,2,11个元素中取出6个元素的组合数C=462种.二、插入法举例例1一排有10个具有编号的座位,3个人来坐,都不坐两头且两人之间至少有一个空位,问有多少种不同的坐法?分析:由于七个空座位顺序已定,它们之间有6个空挡,所以插入三个座位并坐上3个人,其不同的坐法有A=120种.例2从1,2,3,14中,按从小到大的顺序取出数a1,a2,a3,使同时满足a2-a1=3,a3-a2=3,则符合要求的不同取法有多少种?分析:由于除a1、a2、a3外的11个数可形成12个空挡(含两端的),按每间隔两个元素依次插入a1,a2,a3,共有8种方法,故所求的取法有8种.例3在1,2,3,14中,按数从小到大的顺序取出a1、a2、a3,使同时满足a2-a14,a3-a24,则符号要求的不同取法有多少种?分析:本题与例4相似,不同的是增加了“至少间隔三个数”的限定.此时,可将a2前的两个数与a2合看作“一个数”,将a3前的两个数与a3合看作“一个数”,则问题可化为类型三的方法来求解.在7个数形成的8个空挡中,插入“三个数”的方法有C=56种,即符合要求的取数方法有56种.例4一座桥上有编号为1,2,3,10的十盏灯,为节约用电又不影响照明,可以把其中的三盏关掉,但不能关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯.问不同的关灯方法有多少种?分析:由于路灯都有编号(顺序已定),七盏开着的路灯之间有6个空挡,所以插入3盏不亮的路灯的方法有C=20种,即不同的关灯方法有20种.例510个人站成一排,其中甲、乙、丙三人两两不相邻且不站两端,问有多少种不同的站法?分析:除甲、乙、丙外的七个人有A种站法,七个人之间有6个空挡,插入甲、乙、丙有A种方法,所以所求的站法数有AA=100800种.三、2003年高考题=_.A.B.3C. D.6分析:分子利用组合数性质C+C=C,将C化为C,则C+C=C,C+C=C,依此类推,可得分子为C=.分母变形为n(2+3+4+n)=n.则原式=.故选A.备课资料一、排列组合应用题的错误分析在解答排列、组合问题的过程中,极易把排列与组合问题错位或出现“重复”“遗漏”的错误.下面举例说明.例1有五件不同奖品发给4位先进工作者,每人至少一件,有多少种不同的发放 方法?错解一:从5件奖品中任取4件发给4个人,每人一件,再将剩余的一件发给4个人中任一人,保证了每人至少一件,共有CAA=480(种).错解二:从5件中任取一件发给任一人,再将其余4件,每人一件发放,共有CAA=480(种).分析:以上两种解法从形式上看,合情合理,保证了每人至少一件的分配方案,但这两种做法均出现了重复现象.如:解法一中设5件奖品为a1、a2、a3、a4、a5,将4个人当作4个位置,若取4件发给4人,其中有一种可能为a1、a2、a3、a4,余a5,再将a5发给4个人中的任一人时,其中一种可能为a1a5,a2,a3,a4.同样,从5件中取4件将品发给4人,有一种可能为a5,a2,a3,a4,余a1,再将a1发给4人中任一人时,有一种可能是a5a1,a2,a3,a4,这与上面的a1a5,a2,a3,a4为同一分法,出现了重复现象.同理做法二与做法一出现同样的错误.在解排列组合综合应用题时,应先分组再排列或先分组再分配.此题正确的解法为:先将奖品分为4组,有C种分法,再将4组奖品发给4个人,有A种,用乘法原理共有CA=240(种)分法.例2从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法种数共有A.140种B.84种C.70种 D.35种错解:先从甲、乙型电视机中各取1台有CC种取法;再从剩下的7台电视机中任取一台有C种取法,共有CCC=140种取法.分析:错误原因,CCC= CC(C+C)= CCC+ CCC.对于甲型电视机,相当于先从4台中任取一台,再从剩下的3台中任取1台,这是一个排列问题.而题设的取法与顺序无关.乙型电视机的取法也是先从5台中任取1台,再从剩下的4台中取1台.因此得出错误的结果.下面给出正确的解法.解法一:=70(种).解法二:分两类:甲型电视机取1台,乙型电视机取2台;或甲型电视机取2台,乙型电视机取1台,得CC+CC=70(种).答案:C例3从5个学生中选三人参加代表会,其中甲、乙两人中至少一人在内,共有多少不同选法?错解:先从甲、乙
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