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初中数学竞赛专题选讲基本对称式一、内容提要1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质.形如x+y和xy是两个变量x,y的基本对称式.2. 含两个变量的所有对称式,都可以用相同变量的基本对称式来表示.例如x2+y2, x3+y3, (2x5)(2y5), ,都是含两个变量的对称式,它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示:x2+y2(x+y)22xy, x3+y3(x+y)33xy(x+y),(2x5)(2y5)4xy10(x+y)+25,=, =.3. 设x+y=m, xy=n.则x2+y2(x+y)22xym22n;x3+y3(x+y)33xy(x+y)=m33mn;x4+y4(x2+y2)22x2y2m44m2n+2n2;x5+y5(x2+y2)(x3+y3)x2y2(x+y)=m55m3n+5mn2; 一般地,xn+yn(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式:xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)xy(xk1+yk1)(k 为正整数).4. 含x,y的对称式,x+y, xy这三个代数式之间,任意知道两式,可求第三式.二、例题例1. 已知x=(+1), y= 求下列代数式的值:x3+x2y+xy2+y3 ; x2 (2y+3)+y2(2x+3).解:含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.先求出x+y=, xy=.x3+x2y+xy2+y3 (x+y)32xy(x+y)=()32=2;x2 (2y+3)+y2(2x+3)2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3(x+y)22xy+2xy(x+y)=3()26.例2. 解方程组分析:可由x3+y3, x+y 求出xy,再由基本对称式,求两个变量x和y.解:x3+y3,(x+y)33xy(x+y) 把和代入,得355315xy.xy=6.解方程组得或.例3. 化简.解:设x, =y.那么x3+y3=40, xy=2. x3+y3(x+y)33xy(x+y),40(x+y)36(xy).设x+y=u, 得u36u40=0 . (u4)(u2+4u+10)=0. u2+4u+10=0 没有实数根,u40, u4 . x+y=4. 即4.例4. a取什么值时,方程x2ax+a2=0的两根差的绝对值最小?其最小值是什么?解:设方程两根为x1,x2 . 根据韦达定理,得 ,当a=2时,有最小值是2.三、练习1.已知 xy=a, xy=b.则x2+y2=_ ; x3y3=_.2.若x+y=1, x2+y2=2.则x3+y3=_;x5+y5=_.3.如果x+y=2k, xy=4, . 则k=_.4. 已知x+=4, 那么x=_, =.5. 若.a,那么x+=_,=.6. 已知:a=, b=.求:7a2+11ab+7b2 ; a3+b3a2b23ab+1.7. 已知8,则.(1990年全国初中数学联赛题)8. 已知a2+a1=0 则a3=.(1987年泉州市初二数学双基赛)9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5,两根积是2,则这个方程可写成为:.(1990年泉州市初二数学双基赛)10. 化简:;.练习题参考答案1. a2+2b, a3+3ab 2. 2.5, 4.75 3. 4.2或2,14,52 5.a22, a44a2+26. 109,36 7. 62 8. 49. x2 3x2010.1,2
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