初中数学竞赛专题选讲基本对称式一、内容提要1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质.形如x+y和xy是两个变量x,y的基本对称式.2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.例如x2+y2, x3+y3, (2x5)(2y5), ，都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：x2+y2（x+y）22xy， x3+y3（x+y）33xy(x+y)，(2x5)(2y5)4xy10(x+y)+25,=, =.3. 设x+y=m, xy=n.则x2+y2（x+y）22xym22n；x3+y3（x+y）33xy(x+y)=m33mn；x4+y4（x2+y2）22x2y2m44m2n+2n2；x5+y5（x2+y2）(x3+y3)x2y2(x+y)=m55m3n+5mn2； 一般地，xn+yn(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)xy(xk1+yk1)(k 为正整数).4. 含x,y的对称式，x+y, xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.二、例题例1. 已知x=(+1), y= 求下列代数式的值：x3+x2y+xy2+y3 ； x2 (2y+3)+y2(2x+3).解：含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.先求出x+y=, xy=.x3+x2y+xy2+y3 （x+y）32xy(x+y)=()32=2；x2 (2y+3)+y2(2x+3)2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3（x+y）22xy+2xy(x+y)=3（）26.例2. 解方程组分析：可由x3+y3, x+y 求出xy，再由基本对称式，求两个变量x和y.解：x3+y3,（x+y）33xy(x+y) 把和代入，得355315xy.xy=6.解方程组得或.例3. 化简.解：设x, =y.那么x3+y3=40, xy=2. x3+y3（x+y）33xy(x+y)，40（x+y）36（xy）.设x+y=u, 得u36u40=0 . (u4)(u2+4u+10)=0. u2+4u+10=0 没有实数根，u40, u4 . x+y=4. 即4.例4. a取什么值时，方程x2ax+a2=0的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为x1,x2 . 根据韦达定理，得 ，当a=2时，有最小值是2.三、练习1.已知 xy=a, xy=b.则x2+y2=_ ； x3y3=_.2.若x+y=1, x2+y2=2.则x3+y3=_；x5+y5=_.3.如果x+y=2k, xy=4, . 则k=_.4. 已知x+=4, 那么x=_， =.5. 若.a,那么x+=_,=.6. 已知：a=, b=.求：7a2+11ab+7b2 ； a3+b3a2b23ab+1.7. 已知8，则.（1990年全国初中数学联赛题）8. 已知a2+a1=0 则a3=.(1987年泉州市初二数学双基赛)9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：.（1990年泉州市初二数学双基赛）10. 化简：；.练习题参考答案1. a2+2b, a3+3ab 2. 2.5, 4.75 3. 4.2或2，14，52 5.a22, a44a2+26. 109,36 7. 62 8. 49. x2 3x2010.1，2