1,第十一章 达朗贝尔原理（动静法）,2,第十一章 达朗贝尔原理（动静法）,达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法，即用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为动静法。,3,本章基本内容,11. 2 刚体惯性力系的简化,11. 3 刚体绕定轴转动时轴承的附加 动约束力,11. 1 惯性力 达朗贝尔原理,4,FI,如图示，设一质点的质量为m,加速度为a，受主动力F，约束反力FN，,11. 1 惯性力 达朗贝尔原理,m a =F+ FN,F+ FN m a =0,FI= m a,F+ FN+ FI =0,FI称为质点的惯性力。,m a,1. 惯性力,则有,注意惯性力的大小和方向。,令,有,一、 惯性力 质点的达朗贝尔原理,5,2. 质点的达朗贝尔原理,上式表明作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。,质点并非真的处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。对质点系动力学问题，这一方法具有很多优越性。,F+ FN+ FI =0,强调指出：,6,FT,FIn,例1 如图所示一圆锥摆，质量m0.1kg 的小球系于长l0.3m 的绳上，绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成60角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v 与绳的张力FT 的大小。,mg,解：视小球为质点，受力分析如下：,重力（主动力）：,绳的张力（约束力）：,惯性力：,根据质点的达朗贝尔原理，有：,mg,FT,FIn,其中,mg+ FT FIn0 （*）,7,则式（*）在图示自然轴上的投影式为：,联解（1）、（2）式得：,建立如图所示自然坐标系,mg+ FT FIn0 （*）,8,主动力的合力Fi、,惯性力FIi= miai。,二、 质点系的达朗贝尔原理,设质点系由n个质点组成，其中任意质点i 的质量 为mi，加速度为ai。,Fi+ FNi+ FIi =0,该式表明：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和虚加在其上的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。,（1）若把作用于此质点上的所有力分为,由质点的达朗贝尔原理，有,约束力的合力FNi，,再虚拟加上此质点的,9,则前式可改写为：,外力的合力Fi（e)、,（2）若把作用于此质点上的所有力分为:,Fi（e) + Fi(i) + FIi =0 （i1，2，n）,对整个质点系有：,而,内力的合力Fi(i)，,10,为对点O的主矩，,上式表明，作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系，这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。,在静力学中，,故,称,为主矢，,在此称,为惯性力系的主矢，,为惯性力系对点 O的主矩。,（*）,11,可见(*)与上式相比分别多出了惯性力的主矢和主矩，这在形式上也是一个平衡力系，因而可用静力学中求解平衡问题的方法，求解动力学问题。,空间任意力系的平衡条件为：,20,（*）,12,两重物：,例2 如图所示，定滑轮的半径为r，质量m均匀分布在轮缘上，绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端挂有质量为m1和m2的重物（ m1m2），绳与轮间不打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。,FI2,Fox,m1g,mi,m2g,mg,Foy,FI1,FIit,FIin,解：取滑轮与两重物组成的质点系为研究对象：,1、外力,重力：,m1g, m2g, mg,轴承约束反力：,Fox， Foy,2、惯性力（各加速度方向如图示）,FI1m1a, FI2=m2a,轮缘上任意质点i（设其质量为mi) ：,FIit,FIin,=mia,=mi at,=mi an,13,根据质点系达朗贝尔原理，列平衡方程：,m1grm2gr FI1r FI2r,即,（m1g m2g m1a m2a)r =0,而,= mar,解得,14,每段加惯性力FIi。,例3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度定轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。,FA,FB,FIi,解：由于对称，取四分之一轮缘为研究对象，如图所示。,FIi = miain,列平衡方程,取圆心角为dqi的微小弧段，,轮缘横截面张力设为FA、FB。,而,15,所以,由于对称，任一横截面张力相同。,16,例4：如下图（a)所示，质量为m，长为l=a+b 的均质杆BE，用铰链E 和绳CD 与铅垂转轴CE 连接，BE与CE的夹角为，CD垂直于CE。如转轴以匀角速度转动，求绳子的拉力和铰链E的约束反力。,解：以细杆BE为研究对象，受力如图(b)示,1、外力,重力：,mg,轴承约束反力：,FEx，FEy,绳子的拉力：,FT,FEx,FEy,mg,FT,2、惯性力：,BE杆中所有质点的惯性力呈三角形分布。,17,设惯性力合力为FI，其作用点G距E的距离为sG。,在杆长s处，取微小段ds，,BE杆上惯性力系与作用在杆上的所有外力构成一平衡力系，如图所示。,（1）求惯性力合力大小及其作用位置,G,D,E,B,x,FEx,FEy,mg,FT,y,sG,FI,dFI, dFI = dman, 为常量，at=0,所以,它的惯性力为dFI ：,18,由合力矩定理可求得合力作用线位置sG：,（2）利用动静法，列平衡方程式，求解未知量,FTFI FEx=0,FEy mg =0,19,由上三式解得：,20,11. 2 刚体惯性力系的简化,为了便于应用动静法解决刚体的动力学问题，常需将刚体中各质点的惯性力所组成的惯性力系进行简化，求出惯性力系的主矢和主矩。,本节将讨论刚体平移，定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。,以FIR表示惯性力系的主矢，则,结合（*）第一式和质心运动定理知：,此式适用于任何质点做任何运动,动静法的关键就是如何确定惯性力系的主矢和主矩,11,21,主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。下面对刚体惯性力系简化的主矩进行讨论。,1. 刚体作平移,FI1,ai,a1,FIi,任一瞬时都有：,如图，C为刚体质心，O为简化中心。,ai aC,该力系向O点简化的主矩为,FIimi ai= mi aC,惯性力系分布如图示。,22,若取质心C为简化中心，MIC表示主矩，,rC=0，,则有,MIC0,因,MIO一般不为零,结论：,平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反（如下图）。,23,2.刚体定轴转动,如图定轴转动刚体，其上任一质点质 量mi，,同理,有惯性力：,24,工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面，若取此平面与转轴z的交点O为简化中心 ，,则有,故此时惯性力系向O点简化的主矩为：,而,25,当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称平面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴与对称平面的交点O简化,可简化为此对称平面内的一个作用于O点的力和一个力偶。,结论：,其中,26,（1）刚体绕不通过质心C的转轴作匀速转动，图（a）,（2）刚体绕通过质心C的轴作加速转动，图（b）,（3）刚体绕通过质心C的轴作匀速转动，图（c）,讨论,27,假设刚体平行于其质量对称平面作平面运动。刚体的惯性力系先简化为对称平面内的平面力系。,取质量对称平面内的平面图形，如图示。,刚体平面运动可分解为 随基点（质心C）的平移： 绕通过质心的轴的转动：,结论：,有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，惯性力系向质心C简化的结果为通过质心的一个力和一个力偶。此力 ，力偶 。,3.刚体作平面运动,28,例1 均质杆长l ，质量m，绕定轴O 转动的角速度为，角加速度为。求惯性力系向O点简化的结果（方向在图上画出）。,解：该杆作定轴转动，所以惯性力系向点O简化的结果如下：,主矢,主矩,讨论：惯性力系向C点简化的结果如何？,方向如图(b)示。,29,例2 如图所示，电动机定子及其外壳总质量为 m1，质心位于O处。转子的质量为m2，质心位于C处，偏心距OC= e，图示平面为转子的质量对称平面。电动机用地脚螺钉固定于水平基础上，转轴O与水平基础的距离为h。运动开始时，转子质心位于最低位置，转子以匀角速度转动。求基础与地脚螺钉给电动机总的约束力。,30,解：（一）取整体为研究对象，受力分析如下：,重力： m1g, m2g,约束反力： Fx， Fy，M,1、外力,2、惯性力：,只需对转子加惯性力FI ，,因转子匀角速度转动，所以,（方向如图示）,31,其中 jt,解上述方程组，得,（二）根据达朗贝尔原理列平衡方程式,32,例3 均质圆盘质量为m1，半径为R。均质细长杆长l=2R，质量为m2。杆端A与轮心为光滑铰接。如在A处加一水平拉力F，使轮沿水平面纯滚动。问：力F为多大方能使杆的B端刚好离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦因数应为多大？,33,根据达朗贝尔原理：,解得：,细杆刚好离开地面时仍为平移，且地面约束力为零，设其加速度为a，受力分析如图，其中惯性力,解：,（一）取细杆为研究对象。,（二）取整体为研究对象，受力分析如图，,其中,34,根据达朗贝尔原理：,解得：,（三）取整体为研究对象，求摩擦系数，如图,而,35,例4 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S、T 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。,（一）取轮为研究对象，受力分析如图所示。,解：,Fs,FN,MIC,FIC,T,S,M,mg,1、外力,主动力： mg、S、T、M,摩擦力和约束反力： Fs， FN,2、惯性力： （各加速度方向如图示）,（1）,（2）,36,（二）由动静法列平衡方程式,所以：,要保证车轮不滑动，必须,（3）,（4）,（5）,由上各式得：,(*),37,例5 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成j0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。,mg,MIA,FIn,FIt,Fx,Fy,（一）选杆AB为研究对象，其作定轴转动，受力分析如图所示。,解：,1、外力：,主动力： mg,支座反力： Fx， Fy,2、惯性力：,（1）,（2）,（3）,38,（二）由动静法列平衡方程式,（4）,（6）,由（1）（6）式得,（5）,39,例6 均质细杆长l ,质量m, 在水平位置用铰链支座和铅垂绳BD连接, 如图(a)示。如绳突然断去，求杆到达与水平位置成j角时A处的支座反力。,（一）选杆为研究对象，绳断后其作无初速的定轴转动，到达与水平位置成j角时， 受力分析如图(b)所示。,解：,FIAn,FIAt,MIA,其中，惯性力,40,由动能定理得,（二）根据达朗贝尔原理列平衡方程式,（4）,（5）,（2）,（3）,由（1）（6）式得,41,练习：曲柄OA长r，绕O轴以匀角速度 转动。A端滑块在T形杆的垂直滑槽里滑动，带动BD在水平槽里滑动，T形杆的质量为m，质心在C点。不考虑磨擦。求 当 时曲柄给T形杆的作用力。(要求：必须用达朗贝尔原理求解）,42,11. 3 刚体绕定轴转动时轴承的附加动约束力,主动力系向O点简化: 主矢 FR ,主矩MO 惯性力系向O点简化: 主矢 FIR ,主矩MIO,刚体的角速度 ，角加速度a，在轴上任取 一点O为简化中心。,FAx,FAy,FBx,FBy,FR,FBz,FIR,MO,MIO,其中,一、刚体的轴承动约束力,