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Ch2 平面杆系的几何构造分析 一、几何不变与几何可变 杆件结构在不计材料应变的条件下,杆系的形状或各杆的相对位置保持不变,称为几何不变体系。否则,称为几何可变。,二、基本概念 1刚片 本身几何不变的杆件或几何不变的杆系,均可看作刚片。特别地,地基可看作刚片。 2自由度 物体或体系运动时,彼此可以独立改变的几何参数的个数,称为该物体或体系的自由度。在坐标系中,独立的几何参数的个数就是独立坐标的个数。例如,,3约束 约束是指限制物体或体系运动的各种装置。分外部约束(体系与基础之间的联系,即支座)和内部约束(体系内部各杆或结点之间的联系) 1)必要约束:保证体系几何不变的最少的、合理的约束,2) 多余约束:必要约束以外的约束。 三、几何构造分析的内容 1 约束数目 2 布置是否合理 四、几何构造分析的结果 1、 少约束,几何可变 2 、约束数目恰当,布置不合理,几何可变 约束数目恰当,布置不合理,几何瞬变 约束数目恰当,布置合理,无多余约束,几何不变 3 有多余约束,几何不变 有多余约束,局部几何可变,五、约束与自由度的关系 1.一根支杆或一个链杆的约束-可消除一个自由度-一个约束 2一个铰支座或一个单铰的约束-可消除两个自由度-两个约束 3一个固定支座或一个刚结点的约束-可消除三个自由度-三个约束,六、几何不变体系的组成规则,2两刚片的组成规则 两个刚片由一个实铰和不过该铰的一根链杆连接,构成几何不变,且无多余约束的体系。 或:两个刚片由不彼此平行,也不交于同一点的三根链杆连接,构成几何不变,且无多余约束的体系。,1点和刚片的组成规则-二元片组成规则 一个点和一个刚片用不在一条直线上的两根链杆连接,可组成一个几何不变的整体,且无多余约束。其中的两链杆称为二元片,3三刚片组成规则 三刚片若两两之间用不在一直线上的三个铰相连接,则三刚片构成几何不变,且无多余约束的体系。,七、体系的几何组成分析举例,I、II刚片如图所示,把地基看作刚片III。由三刚片法则, I、II实铰于A;II、III由3,4杆虚铰于无穷远B;I、III由 1,2杆虚铰于无穷远C。A、B、C三铰不在同一直线上,构成几何不变,且无多余约束的体系。,例1,如图所示刚片,,刚片I、II由1,2杆虚铰于A; 刚片II、III由3,4杆虚铰于B; 刚片I、III由5,6杆虚铰于C; 如果A、B、C三铰不共线,是几何不变;若共线就是瞬变体系。,CH3 静定梁与刚架 原理:平面上三个平衡方程, 叠加原理 方法: 取研究对象 过程: 结构由杆件组成,作结构的内力图就是作各杆的内力图, 而作杆件的内力图就要确定杆端内力.,示例1 作弯矩图 解:,M,L/2,L,B,E,Hb,L/2,A,C,D,Ha,Va,Vb,1 取整体为研究对象,MB=0,VAL+M=0,得:VA= -M/L Y=0,VA+VB=0,得:VB= M/L,2 取左半为研究对象,MC=0,VAL/2=HAL,得:HA= -M/2L(向左) X=0,HA -HB=0,得: HB= HA= -M/2L(向右),取AD为研究对象,MD=0,,得:MDA=HAL= -M/2 (右侧受拉 同理:MEB= HBL= -M/2 (左侧受拉),在集中力矩的右侧作截面,取BEC为研究对象,MC=0, MCE+HBL-VBL/2=0,得:MCE=M(下侧受拉),MDC与MEC可由结点D和E的平衡条件得到。,CH 4 桁架内力的数解法 (一)结点法 1. 应用条件 (1)一般应用于简单桁架,且按与简单桁架增加二元体的反向截取结点,可保证每个结点仅有两个未知力。 (结点有两个自由度,仅能建立两个平衡方程) (2)原则上,只要截取的结点有不多于两个未知力,均可用结点法。 2特殊杆件 (1) 连接两根不共线杆的结点,若该结点上无荷载作用,则此两杆的轴力为零。(二元体上无结点荷载,该两杆不受力),(2)连接三根杆的结点上无荷载,且其中两根杆共线,则另一杆必为零轴力杆,(3) X形连接杆件的受力特点,(4) K形连接杆件的受力特点。,(二)截面法(截取两个以上结点作为研究对象) 截面法的应用条件: 1截面所截断的各杆中,未知力的个数不超过3个 2截面单杆的概念 (1)截面截得的各杆中,除某一根杆外,其余各杆都交于同一点。则此杆为截面单杆。如图中的a、b、c杆,a,b,c,a,(2)截面截的得的各杆中,除某一根杆外,其余各杆都彼此平行(或认为交于无穷远)。则此杆为截面单杆。如图中的a,(三)示例 1,求指定杆1,2,3的轴力,P,1,2,3,d,4d,作 II 截面,取右半为研究对象,MA=0 ,,得:N1=P(拉力),作IIII截面,取右半为研究对象,Y=0 ,N2= - P(压力),MB=0 ,,得:N3= - P(压力),(四)结点法和截面法的联合应用 在一道题中,结点法和截面法都可以应用。求解桁架,不必拘泥与那种方法,只要能快速求出杆件的轴力,就是行之有效的。总之, 1基本理论 隔离体(研究对象),平衡力系 2技巧 (1)结点法和截面法的联合应用,不分先后,简单、快捷求出内力为前提。 (2)巧取隔离体,即巧作截面,避免求解联立方程。 (3)尽力避免求未知力臂,可把所求力沿其作用线延长至恰当位置后分解,先求分力,再用相似定理求该力。 (4)结点法求解时,选恰当的坐标系,尽力避免求解联立方程。 有零杆的结构,先去掉零杆。,三、组合结构的计算 组合结构的特点及计算过程 (1)由链杆及梁式杆构成 (2)先计算链杆的轴力,后计算梁式杆的内力 (3)截面法时,避免截断梁式杆(受弯杆),Ch 5 静定结构位移计算 一、基本概念 1. 位移的种类 *角位移 *线位移 *相对位移(相对角位移,相对线位移) 2使结构产生位移的因素 *荷载。由于材料的应变而产生位移 *温度变化。热胀冷缩而产生位移 *支座移动。地基沉降 *材料的干缩、制造误差,3计算结构位移的目的 *验算结构的刚度。 *为制作、架设结构等提供依据 *为分析超静定结构作准备 4线弹性体系的特征 *结构的变形或位移与其作用力成正比 *结构的变形或位移服从叠加原理 二、变形体系的虚功原理 1.虚功的概念,2. 变形体系的虚功原理的表述,3位移计算的一般公式,4、位移计算一般步骤,1)计算荷载作用下的MP图,3)图形相乘法,三、各种情况下的位移计算 1. 荷载作用下的位移计算-忽略轴向与剪切变形 2. 温度改变条件下的位移计算-不计剪切变形 3. 支座移动条件下的位移计算-刚体的虚功原理 4. 制造误差条件下的位移计算-只计算有误差的杆件内力即可 5. 含无限刚性杆结构的位移计算-无限刚性杆的变形为零 6. 含弹簧铰、弹簧支座结构的位移计算-弹簧也要作变形功,四、图形相乘法 1. 4个标准图形的面积与形心位置 2. 非标准图形利用叠加法拆成标准图形 3. 两个图形相乘,同侧取正号;异侧取负号。 4. 求纵距的图形一定是直线图形。,五、互等定理 1虚功互等定理,力系统PI在由PJ引起的位移与变形上应用变形体的虚功原理,反之,PI,PJ,位移与变形系统,力系统,力系统PJ在由PI引起的位移与变形上应用变形体的虚功原理,以上两式的右边相同,得:,当PI=PJ=1 时,相应的位移,得: 2. 位移互等定理-由力产生的位移,3. 反力互等定理(适用超静定结构)-由位移产生的力,4. 力与位移互等定理-力产生的力与位移产生的位移上作功,-由功的互等定理得来,-由功的互等定理得来,-功的互等定理特例,6m,1m,2m,2m,6kN,2kN/m,例题:求C点的竖向位移,C,例题:求D点的竖向位移,力法的基本概念 一、超静定结构和超静定次数 1超静定结构的概念 几何构造方面:有多余约束的几何不变体系。 力学解答方面:方程的个数少于未知力的个数。 2超静定次数的确定 去掉多余约束使超静定结构成为静定结构,所去掉的多余约束数目,就是超静定次数。,一般地, *切断链杆(或支杆)是去掉了一个约束,相应一个约束力; *拆开一个铰(或固定铰支座)是去掉了两个约束,相应两个约束力; *切端刚结点(或固定支座)是去掉了三个约束,相应三个约束力; *刚结点变为铰结点,是去掉了一个约束,相应一个约束力;,三、力法原理 基本假设:弹性小变形 确定超静定次数,选取恰当的基本体系 位移协调条件的确定(补充方程 ) 计算柔度系数(单位未知力产生的位移),建立力法方程 结构内力的叠加公式 作内力图,示例1,L,L,EI,EI,A,B,C,P,解:1.该结构为一次超静定结构,平面上3个平衡方程不能求 解4个支座反力 2. 求解思路 注意到原结构在荷载作用下的内力和变形是唯一确定的,特别地,支座反力也是确定的。,示例1,L,L,EI,EI,A,B,C,P,因此,如果设X是一个支座反力,则原结构的内力与变形就与基本体系(其结构是静定的)在荷载P和支座反力X共同作用下的内力与变形等价。 这样,原超静定结构的计算就转化为静定结构的计算。,3. 实现方法 * 在基本结构中,按叠加法把P和X的共同作用分别作用在基本结构上,,+,* 荷载作用下的结构内力与变形,B,B,B/,MP,* 力X未知,对应的内力与变形也未知 如果令力X=1,,* 则,X作用下的结构内力与变形 与X=1作用下的结构内力与变形,X=1,X=1,* 由位移协调条件 B处的竖向位移为零,即,或,X=1,B,B/,* 带入位移协调条件-称为力法方程,即,,解得:,此即支座B的约束反力,其余支座反力可随之求出,4. 内力图的做法,=,X,+,=,P,MP,MX,原结构,基本体系,5. 小结 综上所述,在用力法求所给超静定结构时,所作的弯矩图最基本的有两个,MP图与M图。分别表示: *基本结构仅在荷载作用下的弯矩图; *仅多余未知力等于1时的弯矩图。,MP图与M图图乘表示荷载P作用下在B端产生的竖向位移,M图自己与自己图乘表示多余未知力X=1时在B端产生的竖向位移。,*,求出X后,依,作出弯矩图,例题,2m,2m,4m,8 kN,EI= 常数,解:1)确定超静定次数-2次,第一,第 二,+,=,11X1,21X1,22X2,12X2,1P,2P,3)作,4)求解力法方程,解得:,5)作弯矩图,12/7,24/7,M图,单位:kNm,四、 对称性的利用,1. 构造对称荷载 当给出的对称结构的荷载不对称时,可构造对称荷载,再取半结构。例如,=,+,六、超静定结构的位移计算,引言: 超静定结构的位移计算不需要另外推导公式,在力法的计算过程中,其方法已经存在了。 下面以例题的形式加以说明。,超静定结构的位移计算,基本体系,X1,X2,q,超静定结构的位移计算,2)原结构等价于基本体系,则原结构在C点竖向位移,就等价于求基本结构在X1 ,X2 及分布荷载q共同作用下C点竖向位移。即,问题转化为求静定结构的位移问题。,超静定结构的位移计算,3)为求C处的竖向位移,在C处作用P=1,与MP图图乘即可。,超静定结构的位移计算,4),小结:超静定结构的位移计算: 1)选基本体系作出超静定结构的弯矩图,作为MP图 2)任选该超静定结构的一种基本结构,在拟求位移 的位置作用单位力,作出 图 3),CH 7位移法-基本概念,重点:位移法的典型方程、符号规则、弯矩图的画法,难点:符号规则、内力图、刚度系数的计算、含无限刚性杆、弹簧支承结构的位移法。
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