河内塔问题教学设计万年县第二小学 柴晓晴教学内容：四年级上册p120 河内塔问题教学目的： 1、让学生在学习过程中，根据解决问题的需要，经过自己的探索，体验从简单问题入手找规律这一解决数学问题的基本策略。 2、通过收集信息、归纳信息、得出结论这一系列数学思维过程，发展学生的归纳推理能力。 3、能用有条理的、清晰的语言阐述自己的想法。4、能积极地应对活动中遇到的困难，在学习活动中获得成功体验。教学重点：指导学生根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、 类比与猜测，发展初步的合情推理能力。教学难点：在解决问题过程中，引导学生进行有条理的思考，训练学生对自己的结论做出条理清晰的说明。教学具准备：PPT 课件、河内塔游戏软件、河内塔学具、游戏记录表。教学过程：一、课前热身。找规律：1，18，2，16，3，14，（ ），（ ）1，1，2，3，5，8，（ ），（ ），（ ）（课前热身用“找规律”为后面归纳河内塔运算规律做好铺垫）二、听老师讲故事，谈“河内塔问题”同学们喜欢玩游戏吗？最近我玩了一个游戏，不过遇到一些困难想请同学们帮忙解决。这个游戏是从一个故事开始的：在印度，有这么一个古老的传说：传说中开天辟地的神勃拉玛在贝拿勒斯的圣庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个金环，最大的一个在底下，其余的一个比一个小，依次叠上去。庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。相传神同时发了咒语，当所有的金环全部移完时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。众僧们要移动多少次呢？移完的那一刻真的是世界末日吗？后来，这个传说就演变为汉诺塔游戏，也叫河内塔游戏。（同时出示课件）听了这个故事，同学们找找其中的游戏规则？同学们经过讨论得出：1. 每次只能搬一个2. 大的不能放在小的上面3. 可利用中间的一根棒作为帮助（用故事和游戏导入，激发学生的兴趣和探索的欲望）三、初试汉诺塔玩法，从简单问题入手。说到这个传说，我发现这个汉诺塔上有64个金环，要是直接操作太多了，干脆我们从50个圆盘开始研究吧？为什么不呢？那从20个开始？那你们说怎么办？从最简单的开始！ 不错！对于复杂的问题，我们可以从它最简单的形式开始研究，在研究的过程中找到规律就好办了。请同学们拿出河内塔学具。假设一下：(1) 如果号棒上只有1个金片。把金片移到号棒上需要移几次？学生演示，很快得出结论：1次。（板书：金片的片数 移动的次数） 1 1(2) 如果号棒上有2个金片，把金片移到号棒上最少需要移几次？应该怎样移？同桌商量，怎样移？找生边演示边说明。（先把小金片移到号棒上，再把大金片移到号棒上，再把小金片移到号棒上，总共需要移3次）得出结论：3次 板书：2 3(3) 如果号棒上有3个金片。应该怎样移？最少移动几次？今天我们就一起来研究“河内塔问题” 板书：河内塔问题(从1个小金片和2个小金片入手，让学生体验从简单问题入手找规律这一解决数学问题的基本策略)四、做游戏，找规律。1.老师给大家准备了一个游戏软件。（课件出示游戏、给每组同学发一张游戏记录表）现在同学们用手上的学具先演示。完成最快、用的步数最少的同学上台在游戏软件上演示给大家看。金环的个数第一步最少用几步完成2.活动要求说明好，听清老师的要求。（边说边在课件上出示要求）每组同学，由一人在记录表上做记录，其他同学操作，要完成操作，同学们要配合好，用最少步数，完成得最快的，才是最棒的。刚才同学们已经完成了1个盘子和2个盘子的操作，我们补做好记录。现在从3个盘子开始操作，记住，每完成一次操作，都要做好记录哦。明白了吗？开始行动！ 师巡视，强调活动要求。指导记录数据。（用时510分钟）（用比赛的方法，让完成最快的一组上台操作，激发学生的好胜心）3.收集数据时间到了，3个金环的操作谁来演示？请这一环节完成最快的一组同学上台在软件上演示。有比他步数少的操作方法吗？3个金环最少用了7步，第一步移动到哪？有比7步更少的吗？你怎么保证能只用7步完成？ 板书： 3 74个金环呢？最少用几步完成？生上台演示看清楚了吗？ 板书： 4 154.观察分析，找规律。金环的个数第一步最少用几步完成13号杆1步22号杆3步33号杆7步42号杆15步56到现在为止，我们已经研究了这四种情况的河内塔游戏。要是我们一直这样做下去，还没有做到10个金环的游戏就已经下课了，观察这个表格，开动你的脑筋，能不能发现一些规律。（生讨论，交流）（后一项总是比前一项的2倍多1，如3个金环用7步是前一项3步的2倍多1个。或者每一项有几个金环就把2乘几次再减1，还是以3个金环为例，3个金环把2乘3次，2221=7）提示：操作时用的最少步数之间有没有一定的规律呢？ （生演算，讨论，交流，发言） （当金环的个数是单数时第一步移到3号杆，当金环的个数是双数时第一步移到2号杆，如：金环是20个，第一步应移到2号杆，这样用的步数才最少。）五、运用发现的规律推测，并验证。根据你们发现的规律，假如金环是5个时，要想完成操作，最少用几步？ 下面我们就在游戏中来验证一下我们的推测。游戏演示，可以请学生上台操作。验证的结果符合我们发现的规律。如果金环换成6 个，最少用几步？我们再来验证一下。验证的结果也符合我们发观的规律。（师运用游戏软件演示）你能运用这个规律推算出10个盘子的汉诺塔游戏，最少要用多少步完成吗？六、课堂小结当金环的个数不断地增加时，所用的最少步数也在不断地增多。同学们你们还记得之前的传说吗？传说中的金刚石棒上有64个金环，按照我们刚才找到的规律，利用计算机进行运算，得到最少须要移动 18446744073709551615 这么多次才能完成操作。让生试读此数，感受大数的读法。（出示课件） 假设搬一个金环要用一秒钟，1小时有3600秒，我们把这个时间换算成小时，就有5 1 2 4 0 9 5 5 7 6 0 3 0 4 3 1小时，1天有24小时，再除以24，换算成这么多天，1年我们以365天来计算，再除以365，换算成年，大约是5 8 4 6亿年。根据科学家的研究，太阳的寿命最多还有100150亿年，而地球存在至今不过45亿年，5846亿年远远大于这个数，看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。我们也不必担心世界末日会到来了。可见印度传说仅仅是一个传说而已。（回到之前的传说，首尾呼应）七、结束语 同学们今天老师和大家一起探索了河内塔的奥秘。一个小小的游戏里边竟然包含着巨大的数学智慧。其实数学无处不在，只要我们打开自己敏锐的数学直觉、认真观察，学会收集整理信息并加以归纳，我们就能在自己周围的事物中发现更多的数学奥秘。