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习 题 一3.已知函数在处的函数值,试通过一个二次插值函数求的近似值,并估计其误差。 解:(1) 采用Lagrange插值多项式其误差为(2)采用Newton插值多项式 根据题意作差商表:一阶差商二阶差商04216.252.52934. 设,试列出关于互异节点的插值多项式。 注意到:若个节点互异,则对任意次数的多项式,它关于节点满足条件的插值多项式就是它本身。可见,当时幂函数关于个节点的插值多项式就是它本身,故依公式有特别地,当时,有 而当时有 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的插值多项式和插值多项式,并验证插值多项式的唯一性。 012419233解:(1) Lagrange 插值多项式 =(2) Newton 插值多项式一阶差商二阶差商三阶差商00111982223143343-10由求解结果可知:说明插值问题的解存在且唯一。7. 设,试利用余项定理给出以为节点的插值多项式。解:由Lagrange余项定理 可知:当时,8.设且,求证 证明:以为节点进行线性插值,得 由于,故。于是由 有, 令 13设节点与点互异,试对证明 并给出的插值多项式。 解 依差商的定义 ,一般地,设则 故的插值多项式为16 . 求作满足条件的插值多项式 。 解法1:根据三次Hermite插值多项式:并依条件,得解法2:由于,故可直接由书中(3.9)式,得18 求作满足条件的插值多项式,并估计其误差。 解法1:由已知条件0121293用基函数方法构造。令其中,均为三次多项式,且满足条件依条件可设,由 可得:同理,误差为:解法2:用承袭性构造由条件先构造一个二次多项式作差商表:一阶差商二阶差商001112122973于是有:令所求插值多项式利用剩下的一个插值条件,得 由此解出 故有19 求作满足条件的插值多项式。并给出插值余项。 解:令 利用插值条件定出 : 注意到这里是三重零点,是单零点,故插值余项为 20 求作次数的多项式,使满足条件并列出插值余项。 解法1:由于在处有直到一阶导数值的插值条件,所以它是“二重节点”;而在处有直到二阶导数值的插值条件所以是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式: 可以作出差商表 一阶二阶三阶四阶001111100021101039206115根据Newton插值多项式,有 且插值余项为 第二章答案1. 计算下列函数关于的:注:, 解:(1) (2) 3.是区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式族,其中,求。 解法一:解法二:设,则由4.求,使积分取得最小值。解:题意即为在中求的最佳平方逼近多项式,故满足法方程或者按下述方法:因为上式分别对求偏导,并令其为零,有从而也有 ,5.对,定义 问它们是否构成内积?(1)推出,即为常数,但不一定为0,故(1)不构成内积。(2)显然内积公理的1),2),3)均满足,考察第四条 若,则必有反之,若,则且,由此可推得, 即内积公理第四条满足,故(2)构成内积。8.判断函数在上两两正交,并求一个三次多项式,使其在上与上述函数两两正交。解:(1), , 所以,在上两两正交。(2)设所求多项式为 2. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据相拟合,并估计平方误差。 192531384419.032.349.073.397.8解:将=19,25,31,38,44分别代入,得 所以误差12.求函数在给定区间上对于的最佳平方逼近多项式: 解:设(1)(2) 。 13.上求关于的最佳平方逼近多项式。解:Legendre是-1,1上的正交多项式取,=16.求上的二次最佳平方逼近多项式,并估计平方误差。解:设 第三章习题答案1. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分计误差。解:1)用梯形公式有:事实上,2)Simpson公式事实上,3)由Cotes公式有:事实上,3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.(1) 解:(1)用复化梯形公式有:,由复化Simpson公式有:5给定积分。(1) 利用复化梯形公式计算上述积分值,使其截断误差不超过(2) 取同样的求积节点,改用复化Simpson公式计算时,截断误差是多少?(3) 如果要求截断误差不超过,那么使用复化Simpson公式计算时,应将积分区间分成多少等分? 解:(1) =,当误差时,25.6, 所以取=26。(2)7推导下列三种矩形求积公式: 证明:将在处Taylor展开,得 两边在上积分,得 将在处Taylor展开,得 两边在上积分,得 将在处Taylor展开,得 两边在上积分,得 10判别下列求积公式是否是插值型的,并指明其代数精度:解:插值型求积公式 其中 则 因此,是插值型的求积公式。因其求积公式是插值型的,且存在2个节点,所以其代数精度至少是1。 对于时, 可见它对于不准确成立,故该求积公式的代数精度是1。11构造下列求积公式,并指明这些求积公式所具有的代数精度: 解(1):令原式对于准确成立,于是有 解之得 , 于是有求积公式 容易验证,它对于不准确成立,故该求积公式的代数精度是1。解(2):令原式对于准确成立,于是有 解之得 于是有求积公式 容易验证当时,而 可见,它对于不准确成立,故该求积公式的代数精度是3。解(3):令原式对于准确成立,于是有 解得: 于是有求积公式 容易验证,当时,而 可见,它对于不准确成立,故该求积公式的代数精度是2。12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式: 解(1):令原式对于准确成立,于是有 利用的第1式,可将第2式化为 同样,利用第2式化简第3式,利用第3式化简第4式,分别得 由式消去得进一步整理由此解出解得:因此所求的两点Gauss求积公式:或依下面的思想:解(2):令原式对于准确成立,于是有 利用的第1式,可将第2式化为 同样,利用第2式化简第3式,利用第3式化简第4式,分别得 由式消去得 进一步整理 由此解出解得:因此所求的两点Gauss求积公式:或依下面的思想:13分别用三点和四点GaussChebyshev求积公式计算积分,并估计误差。解:用三点Gauss-Chebyshev求积公式来计算:此时,由公式可得:由余项可估计误差为用四点Gauss-Chebyshev求积公式来计算:此时,由余项可估计误差为14用三点求积公式计算积分,并估计误差。解:作变换则得由三点Gauss-Legendre公式:其估计误差为:,()。其准确值其准确误差等于:第四章 习题答案 2。用Gauss列主元素消去法解方程组解:因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素得到方程组6。用Doolittle分解法解方程组 解:A=其中L= U=由Ly= 解得y=由Ux=y , 解得x=7。用Crout分解法接方程组。解:由Ly=b= 得y=由Ux=y= 得x=11。已知,求。解: ,13。求证:证明:(1) , , 所以,所以(2)14。设计算A的条件数解: 矩阵A的较大特征值为198.00505035,较小的特征值为-0.00505035,则 第五章习题答案2.设方程组 考察用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程组的收敛性; 用Jac
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