第七章 回归与相关,Linear Regression and Correlation,引言,医学工作科研研究的目的： 1.研究某指标的特征（平均水平、发生率等）并比较该指标组间均数（率）的差别。 2.了解两个、或多个指标之间是否有相关关系，以解释和预测（用一个指标预测另一指标的高低）。,表2-1 108例高血压患者治疗后临床记录,编号 年龄 性别 治疗组 舒张压 体温 疗效 X1 X2 X3 X4 X5 X6 1 37 男 A 11.27 37.5 显效 2 45 女 B 12.53 37.0 有效 3 43 男 A 10.93 36.5 有效 4 59 女 B 14.67 37.8 无效 。 100 54 男 B 16.80 37.6 无效,8名健康成人血清胆固醇（mmol/l）与低密度脂蛋白（g/l）结果,编号 胆固醇（X） 脂蛋白（Y） 1 4.27 0.8 2 5.17 1.23 3 5.69 1.31 4 5.17 1.33 5 3.77 0.68 6 5.17 1.12 7 5.66 1.29 8 3.31 0.46,母血TSH 脐带血TSH 编号 X Y 1 1.21 3.90 2 1.30 4.50 3 1.39 4.20 4 1.42 4.83 5 1.47 4.16 6 1.56 4.93 7 1.68 4.32 8 1.72 4.99 9 1.98 4.70 10 2.10 5.20,讲义例7-1 研究同一母亲与婴儿的母血TSH 与 脐带血TSH的关系,母血TSH值与脐带血TSH值的关系散点图,(1.2,3.9),二、相关系数的意义,pearson（皮尔逊）相关系数（pearson correlation coefficient）： 用 r表示（积差法相关系数） pearson r 系数的意义： 是描述两个计量变量值直线关系的密切程度和方向的统计指标。,相关系数（r）的意义,r系数的值无单位，波动范围为 -11。 |r|=1，表示完全相关，线性函数关系（见讲义图7-3中的（e）和（f）。 |r| 越接近1，表示两变量关系越密切（点子接近一条直线）。 |r|=0，表示两变量无相关关系和直线相关关系（见图c、g、 h）。 系数的符号 r为正，表示正相关关系，即x值的增加，y 也增加，反之为负相关。,两指标（X，Y）数据关系的散点图,图a、c为正相关关系,图a,图b,图c,图d,图b、d为负相关关系,三、相关系数的计算,X和Y的离均差积和,(7-17),母血TSH 脐带血TSH X Y X2 Y2 XY 1.21 3.90 1.46 15.2 4.72 1.30 4.50 1.39 4.20 1.42 4.83 1.47 4.16 1.56 4.93 1.68 4.32 1.72 4.99 1.98 4.70 2.10 5.20 合计15.83 45.73 25.80 210.73 73.14,例表，分别计算下列公式：,=25.80-15.832/10=0.7411,=73.14 -15.8345.73/10=0.7494,=210.73-45.732/10=1.6067,相关系数的计算,r为正值，表示随着母血的TSH的增加，其 脐带血TSH的含量也增加，关系为正相关关系,四、相关系数（r）假设检验,相关系数（r）为样本数据计算,r的大小也存在抽样误差，统计对r做统计检验，推断 两变量的总体是否有相关关系。 检验r的方法： 1.查表法（附表13，243页 ） 2.相关系数（r）的t检验公式计算法,等价,1.查表法,方法与步骤 1）建立假设： H0：=0，即两变量（总体相关系数=0）无相关关系 H1： 0，两变量有相关关系， =0.05 2）查表（243页）： 确定自由度（v）=n-2=10-2=8， 本例样本相关系数 r=0.68070.632，P0.05 结论：在=0.05水准上， P0.05，拒绝H0假设，母血TSH 与 脐带血TSH有相关关系存在。,方法2：tr检验,H0：=0，即两变量（总体相关系数=0）无相关关系 H1： 0，两变量有相关关系， =0.05 样本相关系数的t 检验,结论：本例p0.05，即母血TSH 与脐带血TSH有相关关系存在。,相关系数的解释与应用：,1.相关系数（r）描述两个变量的线性协同变化关系，不表示因果关系。 何者做X或Y，计算的r相同。 2.在例数相等时，不同指标相关关系可做比较，r越大，表示两变量关系越密切。 3.应在有统计检验结果的前提下，得出有无相关关系的结论。,例：体重、胸围、呼吸差与肺活量的关系,对象 体重 胸围 身高 肺活量 编号 X1 X2 X3 Y 1 48.5 73.7 166.4 33.8 2 49.5 73.9 167.3 34.1 . 46.4 76.2 160.5 32.9 . . 174 44.9 73.8 158.7 29.70,例：相关分析（Correlation Analysis）,体重 胸围 身高 肺活量 X1 X2 X3 Y X1 1 0.1717 0.6409 0.6954 X2 1 0.4522 0.5863 X3 1 0.7288 X4 1,第一节、直线回归,一、“回归”的由来 二、直线回归的概念 直线回归是用数学方程表达出两个变量（X增加，Y也增加）变化的数量关系，称为回归分析。回归方程：,回归关系与函数关系,函数关系：X与Y值为一一对应的确切关系。表达式： 回归关系： X与Y值间关系不为一一对应，回归方程表达非确切关系两变量的数量变化关系,X,Y,回归方程与回归线,三、回归方程的求法,回归方程中符号的意义： X：为自变量（事先确定，常为原因变量） Y：应变量（Y变量，为结果变量） a：截距（当x=0时，y的值） b：回归系数（斜率），其统计意义：X指标增加一个单位，Y平均增加（或减少）b个单位。 a，b均可为负值和有单位。 为当X=X0时，Y的平均预测值。,10名正常孕妇妊娠时间（周,X）与血清载脂蛋白（g/L,Y）,编号 X Y X2 Y2 XY 1 4 0.95 2 8 0.98 3 12 1 4 16 1.04 5 20 1.07 6 24 1.1 7 28 1.17 8 32 1.18 9 36 1.2 10 40 1.32 合计 220 11.02 6160 12.2431 254.60,b0,b 0,直线回归方程的计算,回归方程： 回归系数的计算： 截距的计算：,公式7-2,公式7-3,母血TSH 脐带血TSH X Y X2 Y2 XY 1.21 3.90 1.46 15.2 4.72 1.30 4.50 1.39 4.20 1.42 4.83 1.47 4.16 1.56 4.93 1.68 4.32 1.72 4.99 1.98 4.70 2.10 5.20 合计15.83 45.73 25.80 210.73 73.14,母血与脐带血TSH的回归系数计算步骤,1）.计算出： 2）计算回归系数（b） 3）计算截距（a）,4）表达本例回归方程： 四、在散点图上绘制回归线 方法：在自变量（x）范围内，取两个X值， 例：取X1=1.3，Y的估计值 =4.29 X2=2.0， =4.99 在图上确定（1.3，4.29），（2.0，4.99）两点连线。,母血TSH值与脐带血TSH值的关系散点图,（Mu/L）,（Mu/L）,血清载脂蛋白（g/l）,妊娠时间（周）,图12-2 正常孕妇妊娠时间（周,X）与血清载脂蛋白含量,五、回归系数（b）的假设检验,检验的假设： H0：=0，即总体回归系数为0，两变量无相关关系 H1： 0，总体回归系数不为0， =0.05 方法： 1.tb检验方法， 2.查表法（用 r 检验代替 b 的检验，简便） 关系：本例 r=0.6807，P0.05 3.方差分析法做检验,公式12-7,回归系数的假设检验（图7-2， Y的平方和的分解示意）,X,Y,Y变量的差异,由于X的增加引起Y变化的部分，回归系数作用,其他因素的作用,H0：=0， H1： 0， 方差分析做检验的实例计算见99页,回归中 Y变量变异的分解,回归系数方差分析的计算,P0.05,回归系数t检验,回归系数的标准误,剩余标准差,回归系数与相关系数假设两者的关系：同一资料的 tb=tr，则二者概率（p1=p2）相等， 方差分析的 F=t2， 本例： F=6.908=2.6282 结论：在=0.05水准上， P0.05，拒绝H0，母血TSH值与脐带血TSH值有直线回归关系，在母血的TSH值1.21-2.10范围内，母血TSH值每增加一单位（ml/l）脐带血TSH值平均增加0.9973 （ml/l） 单位。,四、直线回归的应用,1.反映Y指标依赖X指标变化的平均数量关系 例：正常孕妇妊娠时间（周，X）与血清载脂蛋白（g/L）的回归关系： 结论：正常孕妇妊娠时间每增加一周，其血清载脂蛋白平均增加0.0094（g/L）。 例：母血TSH值与脐带血TSH值有直线回归关系， 母血TSH值每增加一单位（ml/l）脐带血TSH值平均增加0.9973 （ml/l） 单位。,2.预测：通过回归方程，用X值预测。,例：儿童给药根据体表面积，建立儿童体重（X，kg）与体表面积（Y）的回归方程。 当X=XI，代入方程，计算Y为预测值 设回归方程为： 某儿童体重为10kg，其体表面积预测为 Y=2+510=52,3.计算个体值X=X0时，Y值的95%的分布范围,当X=X0时，Y值的标准差，公式见7-15,六、回归与相关的区别和联系（104页）,（一）区别 1.回归分析要求确定出 X指标和Y指标，相关分析无要求。 2.回归与相关说明的问题不同。 3.回归系数有单位（单位不同时不能比较） 相关系数无单位（在例数接近，可以比较） 二、联系 1.同一资料有r与b的符号一致。 2.二者的假设检验结果相等， tb=tr3 3.回归系数与相关系数的关系（见讲义）,决定系数（r2）,反映了在Y的变异中，由于X的变化（回归的作用）在Y变量总的平方和中的比例。或Y的变化能被X的变化所解释的比例。,小结： 计算相关回归的步骤 1.绘制散点图，观察数据是否有直线趋势？ 如为直线趋势：可计算直线相关与回归系数 2.计算 r 或回归方程（事先确定X变量） 3.对 r 或 b 做统计检验（可用r系数的检验） 4.结论：如统计检验的P，表示二者有相关关系或回归关系 5.绘制回归线和方程在散点图上。,CASIOfx-100计算器计算相关系数（r）的步骤,步骤： 1. MODE MODE 2 进入回归分析 2. Lin 1 2. SHIFT AC = 清除数据 3.输数据 X Y 1.21 ， 3.9 M+ 数据输入 1.30 ， 4.5 M+ 1.39 ， 4.2 M+ ,3. SHIFT r 显示相关系数（r） SHIFT 7 显示截距 SHIFT 8 显示回归系数 预测：X=1.21， Y=？ 1.21 SHIFT 显示预测值 4.19,CASIOf