第6章 立体的投影及表面交线,6.1 基本体的投影,按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基本体分为平面立体和曲面立体两类。,6.1.1 平面立体,表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。,棱柱,棱锥,4,1. 棱 柱,6,(2) 棱柱表面上取点,a,b,b,2. 棱 锥,(1) 棱锥的投影,s,B,a,s,c,s,b,C,A,S,s,(c),s,a,a,c,b,b,c,s,b,a,r,(2) 棱锥表面上取点,3,(3),6.1.3 曲面立体,表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。 曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。,圆柱,圆锥,圆球,O,O,顶圆,素线,纬圆,底圆,母线,轴线,回转面的概念,1. 圆 柱,圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。,（1） 先绘出圆柱的对称线、回转轴线。,（2）绘出圆柱的顶面和底面。,（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。,正面转向轮廓线,侧面转向轮廓线,(1) 圆柱的投影图,(2) 圆柱表面上取点,( ),2. 圆 锥,圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相交的轴线旋转而成。,(1) 圆锥的投影图,(2) 圆锥表面上取点,辅助素线法,辅助圆法,3. 圆 球,球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。,(1) 圆球的投影,(2) 圆球表面上取点,6.2 平面与立体相交,平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。,截平面,截交线,截交线的概念,6.2.1 平面与平面立体相交,由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。,例1,三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。,s,a,b,c,a,s,b,c,s ,a(c),b,B,A,1,2,3,1,2,3,1,2,3,例3 求立体截切后的投影,1,6,6.2.2 平面与曲面立体相交,曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。,1. 平面与圆柱相交,截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的 两条平行直线,截平面倾斜于轴线，交线为 椭圆,截平面垂直于轴线，交线为 圆,平面与圆柱的截交线,两条平行直线,垂直于轴线的圆,椭 圆,例 求斜切圆柱的截交线,解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点、 、 ； 3 求出若干个一般点、 、； 4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。,作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。,特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。,例: 如图所示，已知圆柱被截后的正面投影，求作圆柱被截切后的水平投影和侧面投影。,2,1,3,4,5,6,7,a,b,c,d,2,1,c,d,a,b,3,6,7,5,4,2,1,3,4,a,c,b,d,7,6,5,2. 平面与圆锥相交,圆,椭圆,两条相交直线,双曲线,抛物线,解题步骤,例 已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。,1 分析 截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；,2 求出截交线上的特殊点、 、 ；,3 求出一般点；,4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；,5 整理轮廓线。,例 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。,1,1”,2”,3”,2,3,4(5),4”,5”,5,4,6,6,6”,例 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。,例：已知开槽半圆球正面投影，求其另外两面投影。,6.3 立体与立体相交,6.3.1 概 述,立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面曲线或直线。,6.3.2 求两曲面立体的相贯线,1. 表面取点法,当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投影可按着曲面立体表面取点的方法求出,这种求作相贯线的方法称为表面取点法。,例1 已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。,分 析,求特殊点,求一般点,判别可见性,完成相贯线,首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。 分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。 根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况 分析相贯线哪个 投影是已知的，哪个投影是要求作的。,分 析,求特殊点,确定相贯线投影范围和变化趋势的点称为特殊点 包括： 相贯线极限位置点 最左、最右、最前、最后、 最高、最低各点； 曲面立体转向轮廓线上的点 两曲面立体上下、左右、前后转向轮廓线上的各个点。,表面取点法求作相贯线的一般步骤,（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。 （2）求特殊点。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。 （） 根据需要求出若干个一般点。 （）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。 （）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。,圆柱表面交线的三种情况,两外表面相交,外表面与内表面相交,两内表面相交,两正交圆柱相贯线的变化趋势,2. 辅助平面法,假想用一个平面在相贯两立体的相贯区域内去截切相贯的两立体，分别在两立体表面上产生截交线，两截交线交点就是两立体表面与辅助平面三者的共有点，即相贯线上的点。这个假想的平面是辅助平面。作出一系列的辅助平面，求出相贯线上一系列点的投影，依次光滑连接，即得相贯线的投影。,例：轴线正交的圆柱与圆锥相贯。,(8),例 求水平圆柱与半球的相贯线的投影。,b,QV,QW,PV,PW,RV,RW,6.3.3 相贯线的特殊情况,两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但特殊情况下可能是平面曲线或直线。,两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆,外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆,两圆锥共锥顶相贯线为相交两直线,两圆柱轴线平行相贯线为平行两直线,本 章 小 结,1.掌握立体的投影特性和作图方法及立体表面上取点、取线的方法。 2.掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交，求表面交线的方法； 掌握截交线的性质及求截交线的方法； 3.掌握两回转体表面相交时相贯线的性质及用表面取点法、辅助平面法求两回转体相贯线的原理、作图方法；掌握相贯可见性的判别方法;了解和掌握相贯线的特殊情况和作图。,