一、行列式因子,二、不变因子,8.3 不变因子,三、例题讲析,四、练习,1、 定义,一、行列式因子,注：,阶行列式因子.,的首项系数为1的最大公因式 称为 的,中必有非零的 级子式， 中全部 级子式,设矩阵 的秩为 ，对于正整数 ，,若 秩 ，则 有 个行列式因子.,行列式因子.,（1）（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级,（即初等变换不改变 矩阵的秩与行列式因子）,证：只需证， 矩阵经过一次初等变换，秩与行,列式因子是不变的,2、有关结论,设 经过一次初等变换变成 ， 与,分别是 与 的 k 级行列式因子,下证 ，分三种情形：,级子式反号.,公因式，,此时 的每个 级子式或,者等于 的某个 级子式，,或者与 的某个,因此， 是 的 级子式的,从而,级子式的 c 倍.,者等于 的某个 级子式，或者等于 的某个,此时 的每个 级子式或,因此， 是 的 级子式的,公因式，,从而,（2）若 矩阵 的标准形为,其中 为首1多项式，且,则 的 级行列式因子为,证： 与 等价，,完全相同，则这个 级子式为零.,在 中，若一个 级子式包含的行、列指标不,与 有相的秩与行列式因子.,级子式,所以只需考虑由 行与 列组成的,即,而这种 级子式的最大公因式为,所以， 的 级行列式因子,证：设 矩阵 的标准形为,（3）（定理4） 矩阵的标准形是唯一的.,其中 为首1多项式，且,于是,即由 的行列式因子所唯一确定.,由（2）， 的 级行列式因子为,（4）秩为 的 矩阵的 个行列式因子满足：,所以 的标准形唯一.,1、 定义,二、不变因子,矩阵 的标准形,称为 的不变因子.,的主对角线上的非零元素,有相同的标准形，,1)（定理5） 矩阵 、 等价,、 有相同的不变因子.,证：必要性显然. 只证充分性.,2、 有关结论,所以 与 等价.,若 与 有相同的行列式因子，则,与 也有相同的不变因子，,、 有相同的行列因子.,从而 与,则 ， 为一非零常数.,的第n个行列式因子,证；若 可逆，,因子全部为1， 的标准形为单位矩阵 ，即,与 等价.,2）若 的 矩阵 可逆，则 的不变,又 的n个行列式因子满足:,从而不变因子,所以， 的标准形为,矩阵的乘积.,注： 可逆 与 等价.,3)（定理6） 可逆 可表成一些初等,证： 可逆 与 等价,存在一个 可逆矩阵 与一个 可逆,推论：两个 的 矩阵 、 等价,矩阵 ，使,例、求 矩阵的不变因子,三、例题讲析,的非零二级子式为:,解：1） 的非零1级子式为:,又,所以， 的不变因子为 ：,2）,又,而,的不变因子为,求 的不变因子,四、练习,（1）,（2）,