2 状态方程的解,2.1 线性定常系统状态方程的解,2.2 线性时变系统状态方程的解,2.3 线性连续系统的离散化,2 状态方程的解,2.1 线性定常系统状态方程的解,2.2 线性时变系统状态方程的解,2.3 线性连续系统的离散化,1、相关知识,2、齐次状态方程的解,若为标量微分方程：,标量微分方程为矩阵微分方程n=1的特例,（2）矩阵指数的性质,设P是与A同阶的非奇异矩阵，则有,求eAt的一种方法,矩阵指数的性质,传递性,意义：解可以分段求,（3）几个特殊的状态转移矩阵(可直接使用！),A为对角阵,几个特殊的状态转移矩阵,A为约当块,几个特殊的状态转移矩阵,A为约当矩阵,几个特殊的状态转移矩阵,A通过非奇异阵P化为对角形矩阵,(4)矩阵指数的计算方法:直接法(一般不用),一般用于计算机求解 当A为特殊矩阵，如幂零阵，可用此法,底友零阵，实质是特征根为0的约当块,例,已知 求,矩阵指数的计算方法:拉氏变换法(常用),迭代公式,例,例,矩阵指数的计算方法:凯莱-哈密尔顿法,本质：化无穷级数为有限项之和,(1) 凯莱-哈密尔顿定理,(2) 化 为A的有限项,(3) 的计算,1) A特征值互异时,求解步骤,例,2) A有重特征根,例,矩阵指数的计算方法:特征值与特征向量法,任一矩阵A都可通过非奇异线性变换阵P变成对角形或约当形。,A有n个不同特征值,例,求,(1) 求特征值,(2)求特征向量,推广,P不唯一,当A为底友矩阵时，且有n个不同特征根,A有重特征值,的特征向量,的广义特征向量,说明,当A为底友矩阵时，假设 为3重根,例,求,3、非齐次状态方程的解,系统两部分的构成说明：非齐次状态方程的响应满足线性系统的叠加原理。 适当选取u(t)可获得系统状态的最佳轨线。,例,状态转移矩阵已求出：,非齐次状态方程的解为：,2 状态方程的解,2.1 线性定常系统状态方程的解,2.2 线性时变系统状态方程的解,2.3 线性连续系统的离散化,1、n阶齐次状态方程,解的形式：,状态转移矩阵,假设系统有n个初始状态 线性无关,则与之对应有n个解,基础解,特殊的初始解,结论： 是个特殊的基础解，初始状态为单位向量。,一般不易求，更多用于理论分析。,当 与 可交换时，有：,与 有区别，性质比 少。,例,2、时变系统非齐次状态方程的解,齐次方程解为：,非齐次方程解为：,定常非齐次方程解为：,例,2 状态方程的解,2.1 线性定常系统状态方程的解,2.2 线性时变系统状态方程的解,2.3 线性连续系统的离散化,问题的提出,分析和设计计算机控制系统时，都要把一个连续系统化为等价的离散系统。,基本假设,采样周期T满足Shannon采样定理,采样周期为T,采用零阶保持器,线性定常系统离散化,采用计算机控制，且采用零阶保持器，有：,输出方程是一线性方程，离散化后，在kT时刻仍保持线性关系,例：连续系统离散化,例：计算机控制系统,已知系统如图所示，求系统离散化状态空间表达式,连续时间被控对象传函为,能控标准形实现,离散化状态方程,离散化,被控对象输入u(t)=r(t)-y(t)=r(t)-x1(t)，系统的离散化状态方程为,系统输出方程为：,将T=0.01s代入,得：,本章作业,