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卫生统计学,流行病与卫生统计学系,第一节 正态分布 一、正态分布,第四章 常用概率分布,正态分布是自然界最常见的一种分布,若指标X 的频率分布曲线对应于数学上的正态分布曲线, 则称该指标服从正态分布。,增大样本量n,同时将组距进一步缩小,直方图顶端近似一条圆滑的曲线。,正态分布的特征 1.关于 对称。即正态分布以均数为中心,左右对称。 2.在 处取得概率密度函数的最大值,在 处有拐点,表现为钟形曲线。即正态曲线在横轴上方均数处最高。,3.正态分布有两个参数,即均数和标准差。 是位置参数,是变异度参数(形状参数)。常用 N(,2)表示均数为 ,标准差为的正态分布;用N(0,1)表示标准正态分布。4. 正态曲线下面积分布有一定规律。横轴上正态曲线下的面积等于100%或1。,正态分布的密度函数,即正态曲线的方程为,-X+,N(1 ,2)、N(2 ,2),N(,0.52)、N(,12)、N(,22),均数为0,标准差为1的正态分布,-Z+,标准正态分布的密度函数:,为标准正态分布的密度函数,即纵坐标的高度。,对于任意一个服从正态分布N(,2)的随机变量,可作如下的标准化变换,也称Z变换,标准正态分布,二、正态曲线下面积的分布规律 正态方程的积分式(分布函数):,F(X)为正态变量X的累计分布函数,反映正态曲线下,横轴尺度自到X的面积,即下侧累计面积 。,标准正态分布方程积分式(分布函数):,(Z)为标准正态变量 u的累计分布函数,反映标准正态曲线下,横轴尺度自到Z的面积,即下侧累计面积 。,在实际工作中为了方便用查表代替计算 1)表中曲线下面积为到Z的面积。 2)当,和X已知时,先求出Z值,再用Z值查表,得所求区间占总面积的比例。 当和未知时,要用样本均数和样本标准差S来估计Z值。 3)曲线下对称于0的区间,面积相等。 4)曲线下横轴上的面积为100%或1。,三、标准正态分布表,正态分布是一种对称分布,其对称轴为直线X=,即均数位置,理论上: 1范围内曲线下的面积占总面积的68.27% 1.64范围内曲线下的面积占总面积的90% 1.96范围内曲线下的面积占总面积的95% 2.58范围内曲线下的面积占总面积的99% 实际应用中: 1 S范围内曲线下的面积占总面积的68.27% 1.64 S范围内曲线下的面积占总面积的90% 1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的95% 2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的99%,标准正态分布的=0,=1,则 相当于区间(-1,1), 1.96相当于区间(-1.96,1.96), 2.58的区间相当于区间(-2.58,2.58)。 区间(-1,1)的面积:1-2(-1)=1-20.1587=0.6826=68.26%区间(-1.96,1.96)的面积:1-2(-1.96)=1-20.0250=0.9500=95%区间(-2.58,2.58)的面积:1-2(-2.58)=1-20.0049=0.9902=99.02%,正态曲线下面积对称,则区间(1.96,)的面积也是0.025。Z取值于(-1.96,1.96)的概率为1-20.025=0.95,即X取值在区间 上的概率为95%。同理,计算2.58.,例 1 X服从均数为 ,标准差为 的正态分布,试估计(1)X取值在区间 上的概率; (2)X取值在区间 上的概率;,先做标准化变化:,例 2 已知某地1986年120名8岁男童身高均数 ,S=4.79 cm ,估计(1)该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比;(2)身高界于120cm128cm者占该地8岁男孩总数的比例;(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围?,理论上该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩 总数的7.21%。,(1)先做标准化变换:,(2),查附表1,标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的Z值为-1.28,所以80%的8岁男孩身高值集中在 区间内,即116.9cm129.2cm,(3),四、正态分布的应用,(一)制定医学参考值范围 参考值范围:指特定的“正常”人群的解剖、生理、生化、免疫等各种数据的波动范围。,制定参考值范围的步骤,1. 选择足够数量的正常人作为调查对象。 2. 样本含量足够大。 3. 确定取单侧还是取双侧正常值范围。 4. 选择适当的百分界限。 5. 选择适当的方法。,估计医学参考值范围的方法: 1. 正态近似法:适用于正态分布或近似正态分布的资料。 2. 百分位数法:适用于偏态分布资料。,例3 某地调查120名健康女性血红蛋白,直方图显示,其分布近似于正态分布,得均数为117.4g/L,标准差为10.2g/L ,试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。,分析:正常人的血红蛋白过高过低均为异常,要制定双侧正常值范围。,该指标的95%医学参考值范围为,例4 某地调查110名正常成年男子的第一秒肺通气量,得均数为4.2 L,标准差为0.7 L ,试估计该地正常成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围。,该地正常成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围为:不低于3.052L。,分析:正常人的第一秒肺通气量近似正态分布,且只以过低为异常,要制定单侧下限。,例 5 某年某市调查了 200例正常成人血铅含量(g/100g)如下,试估计该市成人血铅含量的95%医学参考值范围。,分析:血铅的分布为偏态分布,且血铅含量只以过高为异常,要用百分位数法制定单侧上限。,(二)质量控制 为了控制实验中的检测误差,常用 2S作上下警戒线,以 3S作为上下控制线。这里的2S和3S可视为1.96S 和2.58S的约数。其依据是正常情况下检测误差是服从正态分布的。但影响某一指标的随机因素很多,如果该指标的随机波动属于随机误差,则往往符合正态分布,如果不服从正态分布,则有可能存在系统误差,7条线的意义,判断异常的几种情况 1.有一个点距中心线的距离超过3个标准差(控制限以外) 2.在中心线的一侧连续有9个点 3.连续6个点稳定地增加或减少 4.连续14个点交替上下 5.连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差 (警戒限以外) 6.连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差 7.中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都超出1个标 准差以内 8.中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标 准差范围。,(三)统计处理方法的理论基础,统计描述中计算算术平均数、标准差、统计推断中进行总体均数置信区间估计、t 检验、F 检验、相关与回归等分析,(一)成败型实验(Bernoulli实验) 在医学卫生领域的许多实验或观察中,人们感兴趣的是某事件是否发生。如用白鼠做某药物的毒性实验,关心的是白鼠是否死亡;某种新疗法临床实验观察患者是否治愈;观察某指标的化验结果是否呈阳性等。将我们关心的事件A出现称为成功,不出现称为失败,这类试验就称为成-败型实验。指定性资料中的二项分类实验。,第二节 二项分布,一、二项分布的概念与特征,成-败型(Bernoulli)实验序列: 满足以下三个条件的n次实验构成的序列称为成-败型实验序列。 1)每次实验结果,只能是两个互斥的结果之一 (A或非A)。 2) 相同的实验条件下,每次实验中事件A的发生具有相同的概率。(非A的概率为1-)。 实际工作中要求是从大量观察中获得的较稳定的数值。 3) 各次实验独立。各次的实验结果互不影响。,(二)二项分布的概率函数 二项分布是指在只能产生两种可能结果(如“阳性”或“阴性”)之一的n次独立重复实验中,当每次试验的“阳性”概率保持不变时,出现“阳性”的次数X=0,1,2,n的一种概率分布。 若从阳性率为的总体中随机抽取大小为n的样本,则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布,记作 B(X;n,)或B(n,)。,例 实验白鼠共3只,要求它们同种属、同性别、体重相近,且他们有相同的死亡概率,即事件“白鼠用药后死亡”为 A,相应死亡概率为。记事件“白鼠用药后不死亡”为 ,相应不死亡概率为1-。设实验后3只白鼠中死亡的白鼠数为X,则X的可能取值为0,1,2和3,则死亡鼠数为 X 的概率分布即表现为二项分布。,互不相容事件的加法定理,独立事件的乘法定理,构成成-败型实验序列的n次实验中,事件A出现的次数X的概率分布为:,其中X=0,1,2,n。 n,是二项分布的两个参数 。,对于任何二项分布,总有,例4-2 临床上用针灸治疗某型头疼,有效的概率为60%,现以该疗法治疗3例,其中2例有效的概率是多大? 分析:治疗结果为有限和无效两类,每个患者是否有效不受其他病例的影响,有效概率均为0.6,符合二项分布的条件。,2例有效的概率是0.432,一例以上有效的概率为:,或,(三)二项分布的特征 1. 二项分布的图形特征 n,是二项分布的两个参数,所以二项分布的形状取决于n,。可以看出,当 =0.5时分布对称,近似对称分布。当 0.5时,分布呈偏态,特别是n较小时, 偏离0.5越远,分布的对称性越差,但只要不接近1和0时,随着n 的增大,分布逐渐逼近正态。因此, 或1- 不太小,而n足够大,我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。,例 实验白鼠3只,白鼠用药后死亡的死亡概率=0.6,则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数 =30.6=1.8(只) 方差为 标准差为,如果以率表示,将阳性结果的频率记为 , 则P的总体均数 总体方差为 总体标准差为 式中 是频率p的标准误,反映阳性频率的抽样误差的大小。,例4-4 如果某地钩虫感染率为6.7%,随机观察当地150人,样本钩虫感染率为p,求p的抽样误差 。,二、二项分布的应用 (一) 概率估计,例4-5 如果某地钩虫感染率为13%,随机观察当地150人,其中有10人感染钩虫的概率有多大?,(二)单侧累计概率计算 二项分布出现阳性次数至少为K次的概率为 阳性次数至多为K次的概率为,例4-6 如果某地钩虫感染率为13%,随机观察当地150人,其中至多有2人感染钩虫的概率有多大?至少有2人感染钩虫的概率有多大?至少有20人感染钩虫的概率有多大?,至多有2名感染的概率为:,至少有2名感染的概率为:,至少有20名感染的概率为:,第二节 Poisson分布的概念与特征 一、Poisson分布 Poisson分布也是一种离散型分布,用以描述罕见事件发生次数的概率分布。Poisson分布也可用于研究单位时间内(或单位空间、容积内)某罕见事件发生次数的分布,如分析在单位面积或容积内细菌数的分布,在单位空间中某种昆虫或野生动物数的分布,粉尘在观察容积内的分布,放射性物质在单位时间内放射出质点数的分布等。Poisson分布一般记作 。,Poisson分布可以看作是发生的概率 很小,而观察例数很大时的二项分布。除要符合二项分布的三个基本条件外,Poisson分布还要求或1-接近于0和1。有些情况和n都难以确定,只能以观察单位(时间、空间、容积、面积)内某种稀有事件的发生数X等来表示,如每毫升水中大肠杆菌数,每个观察单位中粉尘的记数,单位时间内放射性质点数等,只要细菌、粉尘、放射性脉冲在观察时间内满足以上条件,就可以近似看为Poisson分布。,Poisson分布作为二项分布的一种极限情况,二、Poisson分布的特征 1.Poisson分布的概率函数为: 式中 为Poisson分布的总体均数,X为观察单位时间内某稀有事件的发生次数;e为自然对数的底,为常数,约等于2.71828。,如某地20年间共出生短肢畸形儿10名,平均每年0.5名。就可用 代入Poisson分布的概率函数来估计该地每年出生此类短肢畸形儿的人数为0,1,2的概率P(X)。,2.Poisson分布的特性: (1)Poisson分布
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