第6节正弦定理和余弦定理及其应用,考纲展示,知识梳理自测,考点专项突破,解题规范夯实,知识梳理自测 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.已知ABC中的三边,如何判断三角形是锐角、钝角、直角三角形? 提示:利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负,从而判断出三角形是锐角、钝角、直角三角形. 2.在三角形ABC中,“AB”是“sin Asin B”的什么条件?“AB”是“cos AB”是“sin Asin B”的充要条件,“AB”是“cos Ac2”是“ABC为锐角三角形”的什么条件? 提示:“a2+b2c2”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.,知识梳理,1.正弦定理和余弦定理,2Rsin B,2Rsin C,sin B,2.三角形常用面积公式,3.解三角形在测量中的常见题型 (1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.,(2)有关测量中的几个术语 仰角和俯角:与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫 ,目标视线在水平视线下方时叫 . (如图(1)所示) 方位角:一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角,如方位角45,是指北偏东45,即东北方向. 坡角:坡面与水平面的夹角.,仰角,俯角,坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比,即i= =tan (i为坡比,为坡角).(如图(2)所示),【重要结论】 在ABC中,常有以下结论: (1)A+B+C=. (2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.,(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. (5)ABabsin Asin Bcos Acos B.,双基自测,B,B,2.(2018石家庄质检)在ABC中,角A,B,C所对的对边长分别为a,b,c,sin A, sin B,sin C成等比数列,且c=2a,则cos B的值为( ),C,4.(2017辽宁五校联考)在ABC中,a2+b2+c2=2 absin C,则ABC的形状是( ) (A)直角三角形(B)锐角三角形 (C)钝角三角形(D)正三角形,D,5. 导学号 94626155 下列说法正确的是. 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比; 在ABC中,若sin Asin B,则AB; 在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素;,在ABC中,若b2+c2a2,则此三角形是锐角三角形.,错误.当已知三个角时不能求三边.,错误.满足b2+c2a2,还可能满足b2a2+c2或c2a2+b2,则三角形不是锐角三角形.,答案:,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,正、余弦定理的应用,考查角度1:利用正、余弦定理解三角形,(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B,则c=.,答案:(2)4,反思归纳 利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理,有时需结合图形分析求解,有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数.,考查角度2:与三角形面积有关的问题,(A)24 (B)16 (C)12 (D)8,(2)(2017潮州模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2-ab=0.若ABC的面积为 c,则ab的最小值为() (A)24 (B)12 (C)6 (D)4,反思归纳,(2)与面积有关的问题,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化,得到两边乘积,再整体代入.,考点二,利用正、余弦定理判定三角形的形状,【例3】 导学号 94626157 在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角A的大小;,(2)若sin B+sin C= ,试判断ABC的形状.,反思归纳 判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断. (2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.,跟踪训练1:(1) 导学号 49612120 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则ABC的形状为() (A)直角三角形(B)锐角三角形 (C)等边三角形(D)等腰直角三角形,解析:(1)由正弦定理,得sin B=2sin Ccos A, sin C=2sin Bcos A, 即sin(A+C)=2sin Ccos A=sin Acos C+cos Asin C, 即sin Acos C-cos Asin C=0, 所以sin(A-C)=0,A=C, 同理可得A=B, 所以三角形为等边三角形.故选C.,(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形或直角三角形 (D)等腰直角三角形,考点三,利用正、余弦定理解决实际问题,【例4】 导学号 94626158 (1)(2016广州七区联考)某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站C北偏东30处,灯塔B在观察站C南偏东30处,则两灯塔A,B间的距离为.,解析:(1)由题意可知,如图,在ABC中,AC=300米,BC=500米,ACB=120, 利用余弦定理可得 AB2=3002+5002-2300500cos 120, AB=700(米).,答案:(1)700米,(2)(2017黑龙江双鸭山期末)如图,跳伞塔CD高4,在塔顶测得地面上两点A,B的俯角分别是30,45,又测得ADB=30,则AB两地的距离为.,答案:(2)4,反思归纳 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 (1)分析理解题意,分清已知与未知,画出示意图; (2)建模根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型; (3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解; (4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.,跟踪训练2:(1)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos 等于(),答案:(1)B,(2)某台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45角,树干也倾斜为与地面成75角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是 米.,备选例题,【例1】 (2018湖南十三校联考)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin A+sin B=cos A-cos(-B)sin C. (1)试判断ABC的形状,并说明理由;,【例2】 (2018泉州检测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A cos C-cos(A+C)=sin2B. (1)证明:a,b,c成等比数列;,(1)证明:因为cos Acos C-cos(A+C)=sin2B, 所以cos Acos C-(cos Acos C-sin Asin C)=sin2B, 化简可得sin Asin C=sin2B, 由正弦定理得,b2=ac,故a,b,c成等比数列.,(2)若角B的平分线BD交AC于点D,且b=6,SBAD=2SBCD,求BD.,【例3】 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45方向,相距12 n mile的B处水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,利用正、余弦定理解三角形,【典例】 (12分)(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为 . (1)求sin Bsin C;,(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.,答题模板:解三角形问题一般可以用以下几步解答: 第一步:边角互化,利用正弦定理、余弦定理进行边角互化; 第二步:三角变换、化简、消元,从而向已知角(边)转化; 第三步:由值求角(边),结合已知代入求值; 第四步:反思回顾,查看关键点、易错点、公式是否有错误,检查确认答案.,点击进入 应用能力提升,