选修 1-1 3.3.3 导数的实际应用 一、选择题 1如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为() A( l 6) 3 B( l 3) 3 C( l 4) 3 D.1 4( l 4) 3 答案 A 解析 设圆柱的底面半径为r，高为 h， 体积为 V，则 4r2hl， hl4r 2 ，V r2h l 2 r 22 r3(0r0， r l 6是其唯一的极值点 当 r l 6时， V 取得最大值，最大值为 ( l 6) 3 . 2若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为() A2 r 2 B r 2 C4 rD.1 2 r 2 答案 A 解析 设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则由组合体的知识得h 2(2x)2(2r)2，又 圆柱的侧面积S2 x h， S 2162(r2x2x4)， (S2)162(2r2x4x3)， 由(S2)0， 得 x2 2 r(x0 舍去 )， Smax 2 r 2，故选 A. 3设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为() A. 3 VB. 3 2V C. 3 4VD2 3 V 答案 C 解析 设底面边长为x，侧棱长为l，则 V1 2x 2 sin60 l，l 4V 3x 2， S表2S底3S侧 x 2 sin60 3 x l 3 2 x 243V x ， S表3 4 3V x 20， x34V，即 x 3 4V. 又当 x(0， 3 4V)时 y0，当 x 3 4V时，表面积最小 4某公司生产一种产品，固定成本为20000 元，每生产一单位的产品，成本增加100 元，若总收入R 与年产量x 的关系式R(x) x 3 900400 x，0 x 390， 90090 x390， 则当总利润最大 时，每年生产产品的单位数是() A150 B200 C250 D300 答案 D 解析 总利润 P(x) x 3 900300 x20000，0 x390， 90090100 x20000，x390， 由 P(x)0，得 x 300，故选 D. 5函数 y (x 1) 4 的单调递增区间为() A(， 1)B(1， ) C(1,1) D(4， ) 答案 B 解析 y4(x1) 3，令 y0 得 x1， 函数 y(x1)4的单调递增区间为(1， )， 故选 B. 6函数 y x 3 3ax6 的单调递减区间是 () A(a，a) B(，a) C(a， ) D以上都不对 答案 A 解析 y3x 23a3(x2a) 当 a0 时 y 0 恒成立， 函数 yx33ax6 在( ， )上是增函数， 当 a0 时，令 x 2a0 得 x a或 xa， 函数 yx 33ax6 在( ， a)和(a， )上是增函数， 令 x2a0 得axa， 函数 yx33ax6 在(a，a)上是减函数，故应选A. 7(2008 广东 )设 aR，若函数ye xax，xR 有大于零的极值点，则 () Aa1 Ca 1 e Da 1 e 答案 A 解析 ye x ax，y exa 当 a0 时， y 不可能有极值点，故a0，即 ln(a)ln1. a1. 8把长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的 面积之和的最小值是() A. 3 3 2 cm 2 B4 cm 2 C32cm 2 D2 3cm 2 答案 D 解析 设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4 x)cm，两个三角形 的面积和为S 3 4 x 23 4 (4x) 23 2 x 22 3x 4 3.令 S 3x230 则 x2，所以 Smin2 3. 二、填空题 9有一条长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为 _m 2. 答案 16 解析 设矩形场地的长为xm， 则宽为 162x 2 (8x)m， 其面积 Sx(8x)8xx2，S82x， 令 S0 得 x4， 当 x4 时， S取极大值，这个极大值就是最大值， 故当矩形场地的长为4m，宽为 4m 时，面积取最大值16m2. 10yx 4 2x25 在2,2上的最大值为 _ 答案 13 解析 y4x 34x4x(x 1)(x 1)， 令 y0 得 x0，x1，x 1， 列表如下： x 2(2， 1) 1( 1,0)0(0,1)1(1,2)2 y000 y 13 极小 值 4 极大 值 5 极小 值 4 13 由上表可知，函数yx 42x25 在2,2上的最大值为 13. 11用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积 相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的 正方形的边长为_ 答案 8cm 解析 设截去的正方形的边长为xcm，则铁盒的底面边长为(482x)cm，铁盒的体积 为 V， 由题意，得Vx(48 2x)2(0x0)，则 L2512 x 2. 令 L0，得 x 16.x0，x 16. 当 x16 时， L极小值Lmin64， 堆料场的长为 512 16 32 米 13某商品一件的成本为30 元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200 x) 件，当每件商品的定价为_元时，利润最大 答案 115 解析 利润为 S(x)(x 30)(200 x) x 2 230 x6000， S(x) 2x230，由 S(x) 0 得 x 115，这时利润达到最大 14把长 60cm 的铁丝围成矩形，当长为_cm，宽为 _cm 时，矩形面积 最大 答案 1515 解析 设矩形的长为xcm，则宽为 602x 2 (30 x)cm(0x30)， 矩形的面积Sx (30 x)30 xx2， S302x2(15x)，令 S0 得 x 15， 当 0x0，当 15x30 时 S0， 当 x15 时， S取极大值，这个极大值就是最大值， 故当矩形长为15cm，宽为 15cm 时面积最大 三、解答题 15某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投 入广告费t(百万元 )，可增加销售额约为t 25t(百万元 )(0t3) (1)若该公司将当年的广告费控制在300 万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公 司获得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入300 万元，分别用于广告促销和技术改选经预测，每投入技 术改造费x(百万元 )，可增加的销售额为 1 3x 3x23x(百万元 )请设计一个资金分配方案， 使该公司获得的收益最大(注：收益销售额投入) 解析 (1)设投入 t(百万元 )的广告费后增加的收益为f(t)(百万元 )， 则有 f(t)(t25t)t t 24t (t2)24(0t3)， 所以当 t2 时， f(t)取得最大值4， 即投入 2 百万元的广告费时，该公司获得的收益最大 (2)设用于技术改造的资金为x(百万元 )，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元 )， 由此获得收益是g(x)(百万元 ) 则 g(x)( 1 3x 3x23x)(3x)25(3 x)31 3x 34x3(0 x3)， 所以 g(x) x24. 令 g(x)0，解得 x 2(舍去 )或 x2. 又当 0 x0；当 2x3 时， g(x)0. 所以当 x2 时， g(x)取最大值，即将2 百万元用于技术改造，1 百万元用于广告促销， 该公司获得的收益最大 16用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形， 然后把四边翻转90 角，再焊接成水箱问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大 容积是多少？ 解析 设水箱底边长为xcm，则水箱高为h60 x 2(cm) 水箱容积 VV(x)x2h60 x2 x 3 2 (0x120)(cm 3)V (x)120 x3 2x 2. 令 V(x)0，得 x0(舍)或 x80. 当 x 在(0,120)内变化时，导数V(x)的正负如下表： x (0,80)80(80,120) V(x)0 因此在 x80cm 处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值 将 x80 代入 V(x)，得最大容积 V80 26080 3 2 128000. 答：水箱底边长取80cm 时，容积最大最大容积为128000cm 3. 17横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为d 的圆 木锯成强度最大的横梁，则断面的高和宽各应是多少？ 解析 如右图所示，设断面的宽为x，高为 y，则当函数xy 2取得最大值时横梁的强度 最大 又因为 y2d2x2， 所以 f(x)xy2x(d2x2)(0xd)， 所以 f (x)d23x2，令 f(x)0，得 x d 3 . 根据实际情况，当x 偏小 (接近于 0)或偏大 (接近 d)时，强度很小， 因此 f( d 3)为强度的极大值且同时为最大值 所以横梁锯成宽 3 3 d，高 6 3 d时，横梁的强度最大