,高斯 ( Gauss ) 公式1,2,一. 高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成 , 的方向取外侧 ,在 上具有连续的一阶偏导数 , 则有公式,高斯 ( Gauss ) 公式,只证,函数 P( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R ( x, y, z ),3,证明: 设,XY型区域,又,4,类似可证,三式相加，即得所证Gauss公式：,若不是XY型区域 ,则可引进辅助面将其分割成若干,个XY型区域，,在辅助面正反两侧曲面积分正负抵消 ,故仍有,6,二、简单的应用,解,7,(利用柱面坐标得),高斯 ( Gauss ) 公式7,8,使用Guass公式时应注意:,高斯 ( Gauss ) 公式8,9,高斯 ( Gauss ) 公式9,10,高斯 ( Gauss ) 公式10,11,高斯 ( Gauss ) 公式11,12,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,高斯 ( Gauss ) 公式12,13,高斯 ( Gauss ) 公式13,14,故所求积分为,高斯 ( Gauss ) 公式14,15,高斯 ( Gauss ) 公式15,16,三、通量与散度,高斯 ( Gauss ) 公式18,17,1、通量的定义,18,2. 散度的定义:,高斯 ( Gauss ) 公式20,19,散度在直角坐标系下的形式,积分中值定理,两边取极限,高斯 ( Gauss ) 公式21,20,高斯 ( Gauss ) 公式22,21,思考与练习,1. 设 为球面,的外侧, 为 所围立,体,判断下列演算是否正确 ?,(1),(2),22,四、小结,（1）应用的条件,（2）物理意义,2、高斯公式的实质,1、高斯公式,23,高斯 ( Gauss ) 公式25,