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数学分析3 模拟试题一、 解答下列各题(每小题5分,共40分)1、 设求;2、求3、设求在点处的值;4、求由方程所确定的函数在点处的全微分;5、求函数在点处的梯度;6、求曲面在点(1,2,0)处的切平面和法线方程;7、计算积分:;8、计算积分:;二、 (10分)求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各个面平行于坐标面。三、 (10分)若是由和两坐标轴围成的三角形区域,且,求四、 (10分)计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .五、 (10分)计算,其中为,的全部边界曲线,取逆时针方向。六、 (10分)计算,其中是半球面。七、 (10分)讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参考答案一、解答下列各题(每小题5分,共40分)1、 设求;解:; 。2、求;解: 3、设求在点处的值;解:。4、求由方程所确定的函数在点处的全微分;解:在原方程的两边求微分,可得将代入上式,化简后得到 5、求函数在点处的梯度;解: 。6、求曲面在点(1,2,0)处的切平面和法线方程;解:记 在点(1,2,0)处的法向量为: 则切平面方程为:即 法线方程为:,即。7、计算积分:;解:而在上连续,且在1,2上一致收敛,则可交换积分次序,于是有 原式。8、计算积分:;解:交换积分顺序得:八、 求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各个面平行于坐标面。解:设长方体在第一卦限的顶点坐标为(x,y,z),则长方体的体积为:拉格朗日函数为 由 解得:根据实际情况必有最大值,所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为时体积最大。九、 若D是由和两坐标轴围成的三角形区域,且,求解:十、 计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .解:。十一、 计算,其中为,的全部边界曲线,取逆时针方向。解:由格林公式:所以十二、 计算,其中是半球面。解: 十三、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。解:,而收敛, 所以由M判别法知,在内的一致收敛。 数学分析3 模拟试题十四、 解答下列各题(每小题5分,共40分)1、设,求;2、,求;3、设,求;4、设是方程所确定的与的函数,求;5、求函数在点处沿从点到点的方向导数;6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面,求P点的坐标。7、计算积分:;8、计算积分:;二、 (10分)原点到曲线的最大距离和最小距离。三、(10分)已知,其中为球体:,求四、(10分)计算,其中D是由圆周所围成的区域。五、(10分)计算,其中为圆周,取逆时针方向。六、(10分)计算,其中为锥面被拄面所割下部分。七、 (10分)讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参考答案十五、 解答下列各题(每小题5分,共40分)1、设,求;解:。2、,求;解:。3、设,求;解:。4、设是方程所确定的与的函数,求;解:方程两边求微分,得。5、求函数在点处沿从点到点的方向导数;解:方向即向量的方向,因此x轴到方向的转角。 故所求方向导数为:。6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面,求P点的坐标。解:设P点的坐标为,则P点处的切平面为 又因该平面与平面平行, 则有 ,即。7、计算积分:;解:而在上连续,且在2,3上一致收敛,则可交换积分次序,于是有 原式。8、计算积分:;解:交换积分顺序得:三、 原点到曲线的最大距离和最小距离。解:设P(x,y,z)为曲线上任意点,则目标函数为,约束条件为,建立拉格朗日函数:由 得驻点:和,根据实际情况必有最大值和最小值,。四、 已知,其中为球体:,求解:用球坐标计算,得故。四、计算,其中D是由圆周所围成的区域。解:由对称性知:故五、计算,其中为圆周,取逆时针方向。解:由格林公式:所以 。六、计算,其中为锥面被拄面所割下部分。 解:在xoy面上的投影为 八、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。解:当时,而收敛,所以由M判别法知,在内的一致收敛。
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