二、数字积分法插补,数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系统中得到广泛的应用。,（一）数字积分的基本原理 如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表示为：S= f(t)dt 若将0t的时间划分成时间 间隔为t的有限区间，当t 足够小时，可得公式： S= f(t)dt = Yi t 即积分运算可用一系列微小 矩形面积累加求和来近似。,T,O,Y,Y=f(t),t,Yo,t,t,0,0,t,i=0,n-1,若t取最小基本单位“1”，则上式可简化为： S= Yi (累加求和公式或矩形公式） 这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，,n-1,i=0,被积函数寄存器,+,累加器（余数寄存器）,t,Y,存放Y值,若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下： 被积函数寄存器用以存放Y值，每当t 出现一次，被积函数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。,被积函数寄存器,+,累加器（余数寄存器）,t,Y,存放Y值,(二)数字积分直线插补 如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐标移动的微小增量为： X=Vxt Y=Vyt 若动点沿OA匀速移动， V、 Vx、Vy均为常数，则有： V Vx Vy OA Xe Ye 成立。,X,O,Y,A(Xe,Ye),Vx,Vy,V,=,=,=K,因而可以得到坐标微小位移增量为： X=Vxt=KXet Y=Vyt =KYet 所以，可以把动点从原点 走向终点的过程看作X、Y 坐标每经过一个单位时间 间隔以K Xe、 K Ye进行累加 的过程，则可得直线积分插补 近似表达式为： X= (K Xe)t Y= (K Ye)t,X,O,Y,A(Xe,Ye),Vx,Vy,V,i=1,m,i=1,m,由此可以得到直线插补的数字积分插补器：,J Vx(K Xe)(被积函数寄存器),+,J Rx(累加器),J Ry(累加器),J Vy(K Ye)(被积函数寄存器),+,t,X,X轴溢出脉冲,Y轴溢出脉冲,Y,设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有： X= (K Xe)t =KmXe =Xe Y= (K Ye)t = KmYe = Ye 由该式可知：mK = 1,即 m= 1/K 这样，经过m次累加后，X、 Y坐标分别到达终点，而溢出 脉冲总数即为： X=Xe Y=Ye,X,O,Y,A(Xe,Ye),Vx,Vy,V,m,m,i=1,i=1,确定K的取值： 根据每次增量X、Y不大于1，以保证每次分配的进给脉冲不超过1，即需满足： X=K Xe1 Y=K Ye1 其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2 1。若取K=1/2 、则必定满足： K Xe = 2 1 / 2 1 K Ye = 2 1 / 2 1 由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为： m = 1 / K = 2,n,n,n,n,n,n,n,例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。,X,O,Y,1,2,3,4,5,1,2,3,A( 5 , 3 ),插补计算过程如下,累加 次数 (t）,X积分器,JVx,JRx,溢出 X,Y积分器,JVy,JRy,溢出 Y,终点 计数器 JE,备注,0,1,2,3,4,5,6,7,8,101,000,011,000,初始状态,101,101,000,101,101,101,101,101,101,101,011,011,011,011,011,011,011,011,011,111,第一次累加,010,1,110,JRx有进位， X溢出,110,111,001,1,101,JRy有进位， Y溢出,100,1,100,100,X溢出,001,1,111,011,X溢出,110,010,1,010,Y溢出,011,1,101,001,X溢出,000,1,000,1,000,X,Y同时溢出 JE=0，插补结束,加工轨迹如下：,X,O,Y,1,2,3,4,5,1,2,3,A( 5 , 3 ),作业： 插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。,X,O,Y,1,2,3,4,5,A( 2 , 6 ),6,1,2,插补计算过程如下：,累加 次数 (t）,X积分器,JVx,JRx,溢出 X,Y积分器,JVy,JRy,溢出 Y,终点 计数器 JE,备注,0,1,2,3,4,5,6,7,8,010,000,110,000,初始状态,010,010,000,010,010,010,010,010,010,010,110,110,110,110,110,110,110,110,110,111,第一次累加,100,100,JRy有进位， Y溢出,110,110,010,1,101,JRy有进位， Y溢出,000,1,000,100,X,Y同时溢出,010,110,011,X,Y同时无溢出,100,100,1,010,Y溢出,110,010,001,Y溢出,000,1,000,1,000,X,Y同时溢出 JE=0，插补结束,1,1,1,加工轨迹如下：,X,O,Y,1,2,3,4,5,A( 2 , 6 ),6,1,2,(三)数字积分圆弧插补 如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB，坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye)为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。,X,O,Y,A(Xo,Yo),B(Xe,Ye),Pi(Xi,Yi),如图所示，可以得到： V Vx Vy R Yi Xi 即Vx=K Yi，Vy=K Xi 因而可以得到坐标微小位移增量为： X=Vxt=KYit Y=Vyt =KXit 设t=1，K=1/2 则有：,X,O,Y,A(Xo,Yo),B(Xe,Ye),Pi(Xi,Yi),R,V,Vx,Vy,=,=,= K,n,X =,1/2,i=1,m,Yi,Y =,1/2,i=1,m,Xi,n,n,由 可看出，用DDA法进行圆弧插补时，是对加工 动点的坐标Xi和Yi的值分别进行累加，若积分累加器有溢出，则相应坐标轴进给一步，则圆弧积分插补器如图所示：,X =,1/2,i=1,m,Yi,Y =,1/2,i=1,m,Xi,n,n,圆弧积分插补器：,J Vx(Y)(被积函数寄存器),+,J Ry(累加器),J Rx(累加器),J Vy(X)(被积函数寄存器),+,t,X,X轴溢出脉冲,Y轴溢出脉冲,Y,例：设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A（，0）,终点为B（0,），用DDA法加工圆弧AB。,X,O,Y,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,插补计算过程如下：,累加 次数 (t）,X积分器,JVx （Yi),JRy,溢出 X,Y积分器,Jvy (Xi),JRx,溢出 Y,X终 点计 数器,备注,0,1,2,3,4,5,000,000,101,101,初始状态,000,000,000,000,001,001,001,010,010,011,101,101,101,101,101,101,101,第一次累加,000,010,Y溢出,修正Yi,100,001,101,111,100,X,Y无溢出,010,100,011,Y溢出修正Yi,100,001,010,Y溢出修正Yi,1,1,Y终 点计 数器,101,101,101,101,1,101,插补计算过程如下：,累加 次数 (t）,X积分器,JVx （Yi),JRy,溢出 X,Y积分器,Jvy (Xi),JRx,溢出 Y,X终 点计 数器,备注,6,7,9,11,011,111,101,010,无溢出,011,010,110,100,100,100,101,101,101,010,101,100,100,011,011,011,001,XY同时溢出 ,修正Xi,Yi,010,011,011,000,XY同时溢出 ,Y到终点停止迭代,100,X溢出修正Xi,Y终 点计 数器,101,100,010,1,1,8,110,100,100,111,无溢出,1,1,10,111,011,011,1,插补计算过程如下：,累加 次数 (t）,X积分器,JVx （Yi),JRy,溢出 X,Y积分器,Jvy (Xi),JRx,溢出 Y,X终 点计 数器,备注,12,101,001,010,X溢出修正Xi,101,101,001,000,Y终 点计 数器,001,14,011,000,001,1,13,110,001,001,无溢出,1,X溢出修正Xi X到达终点。结束插补。,