随 机 过 程,随机过程及其统计描述,一、问题的提出,二、随机过程的概念,三、随机过程举例,四、小结,第一节随机过程的概念,引例：飞机飞行速度,定义1 设E是一随机实验,样本空间S=e，T为参数集若对每个eS ,X(e,t)都是实值函数, 则称X(e,t),t T 为随机过程，简记为X(t),t T 或X(t),也可记为X(t). 称族中每一个函数称为这个随机过程的样本函数。,一、随机过程的定义,注：1 X(e,t)可看作是一个二元函数 2 定义1偏重于应用，定义2偏重于理论。 3 随机过程和随机变量的关系,定义2：如果对任意t T ，有一定义在S上的随机变量X(e,t)与之对应,则称X(t),t T为随机过程。 对于给定的t0 T ，X(t0)表示系统在时刻t0所处的状态, X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间,记为I.,例1: 抛硬币试验,二随机过程的例子,例2: 考虑 X(t)=acos(t+),t(-,+) 其中a和是常数，是在（0，2）上服从均匀分布的随机变量。,因对不同的t,X(t)是不同的随机变量,X(t),tT是 随机过程。 样本函数： 状态空间:I=（-a，a）,随机相位 正弦波,例3: 掷筛子试验,以上都是随机过程，状态空间都是:I=1，2，3，4，5，6,伯努利过程 （伯努利随机序列）,三、随机过程的分类,1. 依状态离散还是连续分为：,3 依样本函数之间的概率关系分为：独立增量过程；马尔科夫过程；平稳过程。,2. 依时间参数是离散还是连续分为,离散型随机过程,连续型随机过程,四、小结,1.随机过程的概念,2.随机过程的实例及其分类,1一维分布函数族,三、随机过程的概率分布,称为随机过程的一维分布函数，称F(x;t), tT为一维 分布函数族.,设X(t),tT是随机过程，对固定的t ，随机变量X(t),的分布函数,例3 设随机过程 ，其中 ，求 的一维密度函数,解：,2二维分布函数族： 对于T中任意2个不同的参数t1,t2，称随机向量（X(t1),X(t2)）的分布函数,为随机过程X(t),tT的二维分布函数.,为二维分布函数族.,分布函数,科尔莫戈罗夫定理有限维分布函数族完全 确定了随机过程的统计特性.,例4 令 ，其中 是随机变量，其分布率为 ， 试确定随机过程 的一维分布函数 及二维分布函数 ,解：,四、随机过程的数字特征, Rx(s,t)=EX(s)X(t)为X(t),tT的自相关函数,诸数字特征的关系：,简称相关函数,解: 的概率密度为,例1 求随机相位正弦波的均值函数，方差函数和自相关函数.,