刚体定轴转动的角动量,角动量定理,角动量守恒定律,若刚体所受的合外力矩 M外0，,L = = 恒矢量。,力矩的功,A,考虑刚体受外力矩所做的功：,定义：刚体的转动动能,系统机械能守恒，即,以及,用牛顿第二运动定律及转动定律求解.,对物体m用牛顿第二运动定律得,对匀质圆盘形滑轮用转动定律有,联立可得。,解法二,例3：如图所示，一个长为l 、质量为M 的匀质杆可绕支点o自由转动.一质量为m 、速率为v 的子弹以与水平方向成角 的方向射入杆内距支点为a 处，使杆的偏转角为 . 问子弹的初速率为多少？,解 把子弹和匀质杆作为一个系统, 分析可知在碰撞过程中角动量守恒.,设子弹射入杆后与杆一同前进的角速度为 ,则,子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成的系统机械能守恒,机械能守恒：,联立上述这两个方程得子弹的初速率为,题目变形：给初速度，求上升高度,例4. 如图所示，一根质量为M 、长为2l 的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位置. 今有一质量为m 的小球，以速度 垂直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞. 试求碰撞后小球的回跳速度 及棒绕轴转动的角速度 .,解 分析可知,以棒和小球组成的系统的角动量守恒.,由于碰撞前棒处于静止状态，所以碰撞前系统的角动量就是小球的角动量 ;,由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角动量为,由角动量守恒定律得,由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后系统的动能守恒，即,联立以上两式，可得小球的速度为,棒的角速度为,要保证小球回跳 ，则必须保证 .,讨论:,例5 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10 kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,解：以飞轮A、B 和啮合器 C 作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,为两轮啮合后共同转动的角速度，于是,以各量的数值代入得,定轴转动刚体的角动量守恒定律,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,定轴转动刚体的角动量守恒定律,例：如图示，一匀质圆盘半径为r，质量为m1， 可绕过中心的垂轴O转动。初时盘静止， 一质量为m2的子弹以速度v沿与盘半径成 的方向击中盘边缘后以速度 沿与半径成 的方向反弹，求圆盘获得的角速度。,由于对于转轴O，合外力矩为零，角动量守恒。,末状态，子弹和圆盘都有角动量，,于是有：,初始角动量,例：两个均质圆盘转动惯量分别为,和,开始时第一个圆盘以,的角速度旋转，,第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，,求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度,注意：对于每个圆盘来说 都受到非零的和外力矩， 所以角动量不守恒，需要 利用转动定律来求解。,解：,受力分析：,无竖直方向上的运动,作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。,只能用转动定律做此题。,对于盘1：,阻力矩,两边积分,对于盘2：,两边积分,于是有：,不打滑条件：,接触点处两盘的线速度相等,可解得：,