第二节初等函数与多元函数,一、初等函数,二、建立函数关系举例,三、多元函数的概念,第二模块函数、极限、连续,1.基本初等函数,三角函数,反三角函数 y = arc sinx, y = arc cos x, y = arc tan x, y = arc cot x ；,一、初等函数,等五类函数统称为基本初等函数 .,y = sinx, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = sec x, y = csc x ；,幂函数,指数函数,对数函数,2.复合函数,若函数 y = F(u),定义域为 U1 ,函数 u = j (x) 的值 域为 U2,则 y 通过变量 u 成为 x 的函数,这个函数称为由函数 y = F(u) 和函数 u = j (x) 构成的 复合函数,其中变量 u 称为中间变量.,记为,例 1,即为所求的复合函数,其定义域为 (, ) .,解,例 3,解 方法一 令 u = x 1, 得 f (u) = (u 1)2,再将,u = 2x 1 代入,即得复合函数,方法二 因为 f (x 1) = x2 = (x 1) + 12,于是问题转化为,求 y = f (x) = (x 1)2 与 j (x) = 2x 1 的复合函数 f j (x) ,因此,例 4,是由哪些函数复合而成的.,解,3.初等函数,由基本初等函数及常数,经过有限次四则运算和有限次复合构成,并且可以用一个数学式子表示的函数,叫做初等函数.例如,等等,都是初等函数 .,二、建立函数关系举例,解 设剪去的小正方形的边长为 x,则盒子的底面积为 (a - 2x)2 ，高为 x，,因此所求的函数关系为,例 5 设有一块边长为 a 的正方形薄板，,将它的四角剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子，,试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数.,盒子的体积为V.,x,例 6 由直线 y = x， y = 2 x 及 x 轴所围的等腰三角形 OBC ，,x,y = x,y = 2 x,在底边上任取一点 x 0, 2.过 x 作垂直 x 轴的直线，将图上阴影部分的面积表示成 x 的函数 .,解 设阴影部分的面积为 A ，,当 x 0, 1) 时，,当 x 1, 2 时，,所以,x,y = x,1,2,y = 2x,三、多元函数的概念,1. 二元函数的定义,设有三个变量 x , y 和 z ,如果当变量 x , y 在一定范围内任意取定一对数值时.,变量 z 按照一定的规律 f ,总有确定的数值与它们对应，,则称 z 是 x , y 的二元函数，,记为,定义 1,自变量 x、 y 的取值范围称为函数的定义域 .,其中 x, y 称为自变量，,z 称为因变量,二元函数在点 ( x0 , y0) 所取得的函数值记为,例 7,以及 n 元函数 u = f (x1 , x2 , , xn)，,类似地，,可以定义三元函数 u = f ( x , y , z ),多于一个自变量的函数统称为多元函数.,解,二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用 D 表示.,2. 二元函数的定义域,围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域.,连同边界在内的区域称闭区域，,如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域.,求下列函数的定义域 D，,并画出 D 的图形：,应有,解,例 8,所以函数的定义域 D 是以 x = 2 , y = 3 为边界的矩形闭区域.,x,y,O,3,2,- 3,- 2,(2) 因为要使函数,应有,是有界区域.,所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域，,即 1 x2 + y2 4,x,y,2,1,O,有意义，,设D 由 y = 1 , x = 2 , y = x 围成.,例 9,的不等式组来表示平面区域 D :,求形如,y = x,y = 1,x = 2,先做出区域 D 的图形，,直线 y = x , y = 1 交于点 (1 , 1).,y = x, y = 2 的交点为(2 , 2).,解,再将 D 投影到 x 轴上，,得到区间 1 , 2，,则区域 D 内任一点的横坐标 x ，,在 1 , 2 内任取一点 x ，,作平行于 y 轴的直线，,由图可知，,对于所给的 x , D 内对应的纵坐标 y 满足：,因此区域 D 用形如 的不等式组表示为,若想把 D 用形如 的不等式组表示，,则将 D 投影到 y 轴上，,所以在 y 轴上得到区间 1 , 2.,因为直线 x = 2 与 y = x 的交点为 (2 , 2)，,在区间 1, 2 内任意取一点 y ,作平行于 x 轴的直线，,由图可知对于所给的 y ，,D 内对应点的横坐标 x 满足,故 D 用形如 的不等式组表示为,