第十四章曲线积分与曲面积分,14.1 曲线积分 14.2 曲面积分,14.1 曲线积分,一、第一型曲线积分 定义 设 在 平面上一条可求长曲线 有定义. 用任意分法 将曲线 依次 分 个小弧 , .其中 . 设它们的弧长分别为 . 在小弧 上任取一点 .作和数 （1）,令 若当 时二元函数 在曲线 的积分和(1)存在限 。 即 则称 是函数 在曲线 的第一型曲线积 分. 记为 其中 是弧长微元.,第一型曲线积分性质,1、 即第一型曲线积分与 的方向无关. 2、 3、 ，其中 为常数 4、,二、第二型曲线积分,定义 设 在平面上有光滑曲线 有定义. 用任意分法 将曲线 依次分 个小弧 , ， . 设 的弧 在 轴与 轴上的投影区间的长(带有符号)分别为 与 . 在 上任取 一点 .作和数 与 （2）,令 若当 时 (2)有极 限 (或 ) 即 （或 ） 则称 (或 )是 （或 ）在 曲线 的第二型曲线积分. 记为 或,定理 若 在有向光滑曲线 : 连续, 且 ， 则 与 在的第二型曲线积分都存在,且,三、第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系,两类曲线积分互相转化的公式 均为 上点 的函数. 表示向着弧长增加方向的切线与 轴正向夹角. 当改变 方向为 时, 切线也改变方向. 于是 均要变号.,若在平面上. 有,图14.3,四、格林公式,定理 若 与 及 与 在光滑或逐 段光滑闭曲线 围成的闭曲线 连续. 则 其中 取正向,图14.4 图14.5,证法：对区域形状划分为三种讨论 平行y轴(或x轴)的直线与C至多交于两点. 平行y轴(或x轴)的直线与闭曲线C的交点多于两个. 若G是若干条互不相交的闭曲线围成的闭区域.,五、 曲线积分与路径无关的条件,定理 若 以及 在单连通区 域G连续.则下四个断语是等价的: 1曲线积分 与路径 无关. 即只与起点 与终点 有关. 2在 内存在一个函数 使 3 有 4对G内任意光滑或逐段光滑闭曲线 ，有,证法：采用大循环论证法 1 2 2 3 3 4 4 1,定理 若在单连通区域 内函数 是 的原函数. 而 与 是内任意两点. 则,14.2 曲面积分,一、第一型曲面积分 定义 设函数 在光滑或逐片光滑的 曲面块 有定义. 任意分法 . 将曲面 分成 个 小曲面: ,设 的面积 为 ,在 上任取一点 . 作和数 （1） 令 . 若 当时. (1) 式,存在极限 . 即 则称 是 在曲面 的第一型曲面 积分. 记为 其中 是曲面 的面积微元.,定理 若曲面块 : 是光滑或逐片光滑的.其中 是有界闭区域, 在曲面 连续. 则 在 的第一型 曲面积分存在, 且,光滑曲面 : . 其中 是有界闭区域. 则,二、第二型曲面积分,定义 设函数 在光滑或逐片光滑的曲 面块 有定义，选定曲面 一侧为正 . 任意 分法 . 将曲面 分成 个小曲面: , 的面积为 , 在 xy平面投影小区域的面积为. 在 上任取一点 作和数 （）,令 . 若 当时.(2)式 存在极限. 即 则称 是 在曲面 的第二型曲面积分. 记为 其中 是曲面微元 在平面 上投影的面积微元,图14.9,定理 若有光滑曲面 ： 其中 是有界闭区域. 在 连续. 则 在 的第二型曲面积分存在. 且 其中符号“ ”由曲面S的正侧外法线与z轴正向的夹角余弦的符号决定.,三、 奥高公式,定理 设三维空间的有界闭体 是由光滑或 逐片光滑的闭曲面围成. 函数 , , 及其偏导数在 连续. 则 （3） 其中曲面外侧 为正侧. 公式(3)称为奥高公式,当 , , 时. (3)式 变为 即求体积可化为求曲面积分。,四、斯托克斯公式,定理 若光滑曲面块 的边界是光滑或光滑闭曲线 函数 , , 及其 偏导数在包含曲面 的一个空间区域内连续. 则 （4） 其中 的正侧与曲线 的正向按右手法则. 公式（4）称为斯托克斯公式.,三维空间曲线积分与路径无关也有如下等价命题： 1. 与路径无关,即只与起、终点 有关. 2. 在 内存在函数 使得 3. 有 4 内任意光滑或逐段光滑闭曲线 ，有,