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习 题 一1下列随机试验各包含几个基本事件?(1)将有记号的两只球随机放入编号为, 的盒子里(每个盒子可容纳两个球)解:用乘法原理,三个盒子编号为,看作不动物,。两个球看作是可动物,一个一个地放入盒中;球可放入的任一个,其放法有 种,球也可放入三个盒子的任一个,其放法有 种,由乘法原理知:这件事共有的方法数为种。(2)观察三粒不同种子的发芽情况。解:用乘法原理,三粒种子,每一粒种子按发芽与否是两种不同情况(方法)。三粒种子发芽共有种不同情况。(3)从五人中任选两名参加某项活动。解:从五人中任选两名参加某项活动,可不考虑任选的两人的次序,所以此试验的基本事件个数 。(4)某人参加一次考试,观察得分(按百分制定分)情况。解:此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件,。(5)将三只球装入三只盒子中,使每只盒子各装一只球。解:可用乘法原理:三只盒子视为不动物,可编号,三只球可视为可动物,一个一个放入盒子内(按要求)。球可放入三个盒子中的任一个有种方法。球因为试验要求每只盒子只装一个球,所以球放入的盒子不能再放入球,球只能放入其余(无球 的盒子)两个中任一个,其放法有个。只能放入剩下的空盒中,其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球,完成这件事共有方法为 种。2 事件A表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B表示“五件产品都是合格品”,则各表示什么事件?之间有什么关系?解: 设“五件中有件是不合格品” “五件都是合格品”。此随机试验E的样本空间可以写成: 而 ,与是互为对立事件。3. 随机抽验三件产品,设表示“三件中至少有一件是废品”,设表示“三件中至少有两件是废品”,表示“三件都是正品”,问 各表示什么事件?解: “三件都是正品”,“三件中至多有一件废品”,“三件中至少有一件废品”, .4. 对飞机进行两次射击,每次射一弹,设表示“第一次射击击中飞机”,表示“第二次射击击中飞机”,试用及它们的对立事件表示下列各事件:“两弹都击中飞机”; “两弹都没击中飞机” “恰有一弹击中飞机”;“至少有一弹击中飞机”。并指出中哪些是互不相容,哪些是对立的。解: ,与 , 与 ,与 , 与 是互不相容的,与是相互对立的.5 在某班任选一名学生。记“选出的是男生”;“选出的是运动员”;“选出的是北方人”。问:(1) 各表示什么事件?(2) 各表示什么意义。(3)在什么条件下,.解: (1)=“选出的是南方的不是运动员的男生”。(2) 表示该班选出北方的学生一定是运动员。 表示选出的不是运动员的男生是南方的。(3) 当 时 .6、设 是四个随机事件,试用这几个事件表示下列事件:(1) 这四个事件都发生; (2) 这四个事件都不发生;(3) 这四个事件至少有一个发生; (4) 都发生,而都不发生;(5) 这四个事件至多一个发生。 (6) 这四个事件恰有一个发生。解:(1); (2); (3);(4); (5);(6) .7 从一副扑克牌(52张,不计大小王)中任取4张,求取得4张花色都不相同的概率。解: 从52张牌中任取4张共有情况种,每一种情况看作每一种基本事件,所以此试验的样本空间中基本事件的个数。设事件 “任取的4张花色都不相同”,中包含的基本事件个数可以用乘法原理求, 事件完成要从四种花色中各取一张,故 , .8 某房间里有4个人,设每个人出生于1月至12月中每一个月是等可能的。求至少有1人生日在10月的概率。解:设事件“至少有1人生日在10月” “4个人生日都不在10月”.9 袋中有10只形状相同的球,其中4只红球,6只白球,现从袋中一个接一个地任意取球抛掷出去,求第3次抛掷的是红球的概率。解:此随机试验E为:从袋中每次任取一球,不放回地连取三次,相当于从10只球中任取3只排列在三个不同的位置上,其不同的排列数为,即其基本事件共有个,设事件 “第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数求法如下:首先事件A表示第三次抛掷的是红球,即第三个位置应放红球,可从4个红球中任取一个放入,共有种放法;前两个位置任从剩下的9个球中取两个放在不同的位置,其放法有种。由乘法原理可知 .10 将一枚硬币连续抛掷10次,求至少有一次出现正面的概率。解:设事件 “至少出现一次正面” , “全不出现正面”若一枚硬币连续10次,每次有正、反两种情况,所以随机试验E的基本事件个数 ,所包含的基本事件个数 . 则.11 盒中有10个乒乓球,其中6只新球,4只旧球。今从盒中任取5只,求正好取得3只新球2只旧球的概率。解:从盒中10只球任取5只的取法共有种,即为此随机试验的基本事件的个数, . 设事件“正好取得3只新球2只旧球”事件所包含的基本事件的个数的考虑方法:先从6只新球中任取3只,其取法有种;再从4只旧球中任取2只,其取法有种。由乘法原理得 , .12.10件产品中有6件正品,4件次品。甲从10件中任取1件(不放回)后,乙再从中任取1件。记 “甲取得正品”;“乙取得正品”。求解:求的问题是甲从10个球中任取1球,其方法有10种,事件是甲取得1件是正品,只能从6件正品中任取1件,所以取法是6种。求 问题是在甲取得一件正品的条件下不放回,求乙再任取一件是正品的概率, 样本空间是:甲从10件产品中取出一件正品后,再从剩下的9件产品中任取1件的问题。此时基本事件个数 ,在此中正品是5件,事件B包含的基本事件个数 ,求的问题可用上面两种方法,所不同的是 “甲取得一件是次品”, .13 甲、乙两城市位于长江下游,据气象资料知道:甲、乙两城市一年中雨天的比例分别是20和18,两地同时下雨的比例为12:(1)已知乙市为雨天,求甲市也是雨天的概率;(2)已知甲市为雨天,求乙市也是雨天的概率;(3)求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。解:设事件 “甲市为雨天”; 事件 “乙市为雨天”。则 所求的问题:(1);(2) ;(3).14 甲袋中有3个白球,7个红球,15个黑球;乙袋中有10个白球,6个红球,9个黑球。今从两袋中各任取一球,求下列事件的概率。(1) 事件“取得2个红球”; (2) 事件 “取得的两球颜色相同”解: (1) 随机试验为从甲袋25个球中任取1球,从乙袋25个球任取1个,其基本事件总数 . 由乘法原理知道事件包含的基本事件个数 .用 分别表示从甲袋取得白球、红球、黑球;用 分别表示从乙袋取得白球、红球、黑球。则 。与 相互独立。(2) 与 相互独立,且三种情况互不相容,则 .15. 制造某种零件可以采用两种不同的工艺:第一种工艺要经过三道工序,经过各道工序时出现不合格品的概率分别为 ;第二种工艺只要经过两,道工序,但经过各道工序时出现不合格品的概率均为。如果采用第一种工艺,则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.9, 而采用第二种工艺,则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.8。试问采用何种工艺获得一级品的概率较大。(注:各道关系出现不合格品时相互独立的)解:设事件“采用第一种工艺获得一级品”;事件“采用第二种工艺获得一级品”;第一种工艺经过三道工艺,第k道工序出合格品事件记为由题设知道: 第二种工艺二道工序,第k道工序出合格品的事件记为 .由题设知道: 所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。16一箱产品共100件,其中有5件有缺陷,但外观难区别,今从中任取5件进行检验。按规定,若未发现有缺陷产品,则全箱判为一级品;若发现一件产品有缺陷,则全箱判为二级品;若发现两件以上有缺陷,则全箱视为次品。试分别求该箱产品被判为一级品(记为),二级品(记为),次品(记为)的概率。解:随机试验E是100件产品任取5件,其基本事件的个数 。事件包含的基本事件个数求法是:从95件没缺陷的产品取5件的个数 事件包含的基本事件个数求法:从5件有缺陷的产品中任取一件,个数为,再从95件无缺陷的产品中任取4件,个数为 ,由乘法原理知 (因为互不相容).17车间内有10台同型号的机床独立运转,已知在1小时内每台机床出故障的概率为 0.01,其在1小时内正好有3台机床出故障的概率。解: 此问题是独立重复试验问题。 设事件 “10台机床中任3台出故障”,.18 据医院经验,有一种中草药对某种疾病的治疗效果为0.8。现在10人同时服用这种中草药治疗该疾病,求至少对6人有疗效的概率。解:设事件 “至少对6人有疗效”,.19加工某产品需经过两道工序,如果经过每道工序合格的概率为0.95,求至少有一道工序不合格的概率。解: 设事件“至少有一道工序不合格”; “两道工序后都合格”.20 已知 求:(1) (2) (3) 解: (1) ; .(2) . (3) ; .21、某气象台根据历年资料,得到某地某月刮大风的概率为,在刮风的条件下下雨的概率为。求即刮风又下雨的概率。解:设事件“某地某月刮大风”; “某地某月下雨”. .22.某学校学生四级英语考试的通过率为90% , 其中60% 的学生通过六级英语考试 , 试求从该校随机的选出一名学生通过六级考试的概率.解:设 A = “ 通过四级英语考试 ”, B = “ 通过六级英语考试 ”,由题意, 可知0.9, =0.5423.设两两独立的三个事件满足条件:且已知求解:,即则所以24从1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从中任取一个数,记为Y,求解:25有外观相同的三极管6只,按流量放大系数分类,4只属于甲类,两只属于乙类,不放回的抽取三极管两次,每次只抽一只。求在第一次抽到的是甲类三极管的条件下,第二次又抽到甲类三极管的概率。解:设事件 “第一次抽到的是甲类三极管”, 事件 “第二次抽到的是甲类三极管”, 26 10个零件中有7个正品,3个次品。每次无放回地随机抽取一个来检验,求:(1)第三次才取到正品的概率;(2)抽三次至少有一个正品的概率。解:设事件 “第三次才取到正品”,因为第三次才取到正品,前两次取得的是次品, “抽三次至少有一个正品”, “抽三次全是次品” 27一个工人看管三台机床,在1h内机床不需要工人照管的概率:第一台为0.9,第二台为0.8,第三台为0.7。求在1h内(1)三台机床都不需要工人照管的概率;(2)三台机床中最多有一台需要工人照管的概率。解:设事件 =“第k台机床不用照管” ()(1)(2) 设事件 “三台中最多有一台需要照管”每台机床都是相互独立的。28有两个电路如图1-24所示,每个开关闭合的概率都是,诸开关闭合与否彼此独立,分别求两电路由至导通的概率。(1) (2) 解:记 第个开关闭合 (1)(至导通) , 两事件与3 是相容的。
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