二次根式二次根式 【知识回顾知识回顾】 1.1.二次根式：二次根式：式子（0）叫做二次根式。aa 2.2.最简二次根式：最简二次根式：必须同时满足下列条件： 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式不含开方开的尽的因数或因式； 被开方数中不含分母不含分母； 分母 中不含根式不含根式。 3.3.同类二次根式：同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次 根式。 4.4.二次根式的性质：二次根式的性质： （1）（）2= （0）； （2）aaa 5.5.二次根式的运算：二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以 用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到 根号里面 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式 （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的 积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab=ab（a0，b0）； bb aa （b0，a0） （0）aa aa2 （0aa ） 0 （=0）；a （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配 律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 【典型例题典型例题】 例例 3、 在根式 1) 222 ;2);3);4) 27 5 x abxxyabc，最简二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4) 例例 5、已知数 a，b，若 2 ()ab=ba，则 ( ) A. ab B. a0，b0 时，则： ； 1 a ab b 1 a ab b 例 8、比较与的大小。5323 【基础训练基础训练】 7.下列计算正确的是 A B CD 9已知等边三角形 ABC 的边长为33，则 ABC 的周长是_； 10. 比较大小：。10 13. 函数中，自变量的取值范围是 15.下列根式中属最简二次根式的是 A. B. C. D. 2 1a 1 2 827 19.已知二次根式与是同类二次根式，则的 值可以是 A、5 B、6 C、7 D、8 21.若，则 230ab 2 ab 22如图，在数轴上表示实数的点可能是15 A点 B点C点 D点PQMN 23.计算： （1） （2） 25.若，则的取值范围是 ABCD 26.如图，数轴上两点表示的数分别为 1 和，点关于点的对称点为点， 则点所表示的数是 ABCD 勾股定理知识总结勾股定理知识总结 一基础知识点：一基础知识点： 1 1：勾股定理：勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2c2） 要点诠释：要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其 主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，则，ABC90C 22 cab ，） 22 bca 22 acb （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2 2：勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角 形。 要点诠释：要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为直角的 直角三角形 （若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为钝角的钝角三角形；若 c2b=c），那么 a2b2c2=211。其中正确的是（） A、B、C、D、 13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 14.如图一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海 里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距 （ ） A、25 海里B、30 海里C、35 海里D、40 海里 15. 已知等腰三角形的腰长为 10，一腰上的高为 6，则以底边为边长的正方形的面积 为（） A、40B、80C、40 或 360D、80 或 360 A 1 0 0 6 4 16某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环 境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a 元B、225a 元C、150a 元 D、300a 元 三解答题： 19有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出 1 尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽 4 尺， 求竹竿高与门高。 20一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，（1）这个梯子 的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向 滑动了几米？ 平行四边形 平行四边形平行四边形 150 20m30m 第 16 题图 北 南 A 东 第 14 题 图 A A B A B O A 第 20 题图 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“ ”来表示。 平行四边形性质：平行四边形性质： 平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分 平行四边形的面积平行四边形的面积等于底和高的积，即 S ABCD=ah，其中 a 可以是平行四边形的任何 一边，h 必须是 a 边到其对边的距离，即对应的高。 平行四边形的判定：平行四边形的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形 从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交 点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。二等分平行四边形的面积。 知识巩固知识巩固 4.如图，ABCD 的对角线 AC 和 BD 相较于点 O，如果 AC=10，BD=12，AB=m，那么 m 的取值范围 是 。 1、已知ABCD 的对角线交于 O，过 O 作直线交 AB、CD 的反向延长线于 E、F，求证： OE=OF. 2、如图，在周长为 20cm 的ABCD中，ABAD，AC、BD相交于点O，OEBD交AD于 E，则ABE的周长为 cm. 1.平行四边形的周长等于 56 cm，两邻边长的比为 31，那么这个平行四边形较长的 边长为_. 2、在ABCD中，A+C=270，则B=_，C=_. 3.如图，ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周 长为（ ）A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 4、如图，在ABCD中，AB=AC，若ABCD的周长为 38 cm，ABC的周长比ABCD的 周长少 10 cm，求ABCD的一组邻边的长. 1.在ABCD中，ABCD的值的比可能是（ ） A BC D O E A.1234 B.1221 C.1122 D.2121 2、如图，在中，AB=10cm，AB 边上的高 DH=4cm，BC=6cm,则 BC 边上的高 DFABCDA 的长为 。 2、如图，在中，则= ABCDA13,5,ABADACBC ABCD SA ：如图，已知中，M 是 BC 的中点，且 AM=9，BD=12，AD=10，求ABCDA ABCD SA 2、如图，在中，于，于,若 AE=4，AF=6，ABCDAAEBCEAFCDF 的周长为 40，求的面积。ABCDAABCDA 3、国家级历史文化名城金华，风光秀丽，花木葱茏某广场上一个形状是平行四 边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6 种颜色的花如果有 ，那么下列说法中错误的是（ ）ABEFDCBCGHAD A红花、绿花种植面积一定相等 B紫花、橙花种植面积一定相等 C红花、蓝花种植面积一定相等 D蓝花、黄花种植面积一定相等 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A G E D H C F B 例 3 4、如图，在中，,分别以 BC、CD 为边向外作和，ABCDA32BADBCEADCFA 使 BE=BC，DF=DC,延长 AB 交边 EC 于点 H，点 H 在 E、C 两点之间，EBCCDF 连接 AE、AF。（1）求证：；（2）当时，求的度数。ABEFDAAAAEAFEBH 1能判定四边形是平行四边形的条件是（） A一组对边平行，另一组对边相等 B一组对边相等，一组邻角相等 C一组对边平行，一组邻角相等 D一组对边平行，一组对角相等 5、如图，ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA 的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由. 例 1、如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，BE 的延长线与 CD 的延长线 相交于点 F，求证：四边形 ABDF 是平行四边形 21如右图所示，在ABCD 中，BFAD 于 F，BECD 于 E，若A=60，A AF=3cm，CE=2cm，求ABCD 的周长A 22如图所示，在ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF.A 求证：（1）AE=CF；（2）AECF F C DA E B 例 1如图，已知 AC 是ABCD 的一条对角线，BMAC，NDAC，垂足分别是 M、N.求证：四边形 BMDN 是平行四边形. 证法一：四边形 ABCD 是平行四边形 AB=CD ABCD，3=4 又BMAC，DNAC 1=2=90 BMDN 且ABMCDN BM=DN，又 BMDN 四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 证法二：如图，连结 BD 交 AC 于 O. 四边形 ABCD 是平行四边形 BO=DO(平行四边形对角线互相平分) BMAC，DNAC 1=2=90， 又3=4，MOBNOD OM=ON 四边形 BMDN 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). 2.已知如图：O 是ABCD 的对角线 AC 的中点，过点 O 的直线 EF 分别交 AB、CD 于 E、F 两点. 求证：四边形 AECF 是平行四边形. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD，1=2 O 是对角线 AC 的中点， OA=OC 又AOE=COF AOECOF OE=OF，又 OA=OC 四边形 AECF 是平行四边形. 2如果等边三角形的边长为 3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（ ） （A）9 （B）6 （C）3 （D） 9 2 3平行四边形的两条对角线分别为 6 和 10，则其中一条边 x 的取值范围为（ ） （A）4x6 （B）2x8 （C）0x10 （D）0x0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大； 当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平 移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第