第三章 离散傅里叶变换,DFT: Discrete Fourier Transform,学习目标,理解傅里叶变换的几种形式 了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握周期卷积过程 理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系 了解频域抽样理论 理解频谱分析过程 了解序列的抽取与插值过程,一、Fourier变换的几种可能形式,连续时间、连续频率傅里叶变换,连续时间、离散频率傅里叶级数,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,连续时间、连续频率傅里叶变换,时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的,四种傅里叶变换形式的归纳,傅里叶变换,傅里叶级数,序列的傅里叶变换,离散傅里叶变换,(DFS：离散傅里叶级数，DTFT：序列的傅里叶变换， DFT：离散傅里叶变换）,二 、周期序列的DFS及其性质,周期序列的DFS正变换和反变换：,其中：,可看作是对 的一个周期 做 变换然后将 变换在 平面 单位圆上按等间隔角 抽样得到,DFS的性质,1、线性：,其中， 为任意常数,若,则,2、序列的移位,3、调制特性,4、周期卷积和,若,则,同样，利用对称性,若,则,三、离散傅里叶变换（DFT）,同样：X(k)也是一个N点的有限长序列,有限长序列的DFT正变换和反变换：,其中：,x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；,x(n)的DTFT在区间0，2上的N点等间隔抽样。,(DFT：离散傅里叶变换，DTFT：离散时间信号的傅里叶变换）,四、离散傅里叶变换的性质,DFT正变换和反变换：,1、线性：,这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且,若,则,2、序列的圆周移位,定义：,有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。,调制特性：,时域序列的调制等效于频域的圆周移位,3、圆周卷积和,若,则,圆周卷积过程： 1）补零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圆周移位 5）相乘相加,N,N,N,同样，利用对称性,若,则,4、有限长序列的线性卷积与圆周卷积,线性卷积：,讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：,对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；,对x2(n)周期延拓：,圆周卷积：,N,5、线性相关与圆周相关,线性相关：,自相关函数：,相关函数不满足交换率：,相关函数的z变换：,相关函数的频谱：,圆周相关定理,当 时， 圆周相关可完全代表线性相关,类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系,6、DFT形式下的Parsval定理,小结：线性卷积求解方法,时域直接求解,z变换法,DFT法,五 、抽样z变换频域抽样理论,时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。,频域抽样呢？,抽样条件？,内插公式？,x(n)为无限长序列混叠失真 x(n)为有限长序列，长度为M,由频域抽样序列 还原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。,所以：时域抽样造成频域周期延拓 同样，频域抽样造成时域周期延拓,频率采样定理,若序列长度为M，则只有当频域采样点数: 时，才有 即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。,用频域采样 表示 的内插公式,用频域采样 表示 的内插公式,六 、用DFT对模拟信号作频谱分析,信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换,原始信号,时域,频域,抽样,截短,周期延拓 频域离散化,取主值空间,对连续时间非周期信号的DFT逼近,1）将 在 轴上等间隔（T）分段,2）将 截短成有限长序列,3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔 ，时域周期延拓， 周期为,对连续时间非周期信号的DFT逼近过程 1）时域抽样 2）时域截断 3）频域抽样,近似逼近：,对连续时间周期信号的DFS逼近,1）将 在 轴上等间隔（T）分段,2）频域截断：长度正好等于一个周期,近似逼近：,频率响应的混叠失真及参数的选择,同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。,信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾,频谱泄漏,改善方法：,对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏,1）增加x(n)长度,2）缓慢截短,原始信号,矩形窗,截短信号 在时域上的截短信号很完美,频域是平滑的,频域是泄漏的,两信号卷积以后导致了频域泄漏,两信号卷积,栅栏效应,改善方法： 增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密,DFT只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱，而不是连续函数,频率分辨率,提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度,