. . 普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5 页， 150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 （选择题共40 分） 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 （1）已知集合A=B=，则 （A）（B） （C）（D） （2）若x,y满足，则2x+y的最大值为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）5 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为 1，则输出的k值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）设a,b是向量，则“IaI=IbI ”是“ Ia+bI=Ia-bI ”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 . . （C ）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （5）已知x,yR,且xy o，则 （A）-（B） （C ） (-0 （D ）lnx+lny (6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A） （B） （C ） （D ）1 (7) 将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s0） 个单位长度得到点P. 若P位于函数的图像上，则 （A）t=，s的最小值为（ B）t=，s的最小值为 （C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为 （8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半. 甲、乙、丙是三个空盒. 每次从袋中任意取出两个球， 将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒. 重复上述过程，直 到袋中所有球都被放入盒中，则 （A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 . . 第二部分 （非选择题共 110 分） 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 （9）设 a R，若复数（ 1+i ） （a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_。 （10）在的展开式中，的系数为 _. （用数字作答） （11）在极坐标系中，直线与圆交于 A，B两点， 则=_. （12）已知为等差数列，为其前 n 项和，若，则. （13）双曲线的渐近线为正方形OABC 的边 OA ，OC所在的直线， 点 B为该 双曲线的焦点。若正方形OABC 的边长为2，则 a=_. （14）设函数 若 a=0，则 f(x)的最大值为 _； 若 f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是 _。 三、解答题（共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15） （本小题 13 分） 在ABC中， 333 2acbac （I ）求 B 的大小 （II ）求2 coscosAC的最大值 （16） （本小题13 分） A、B、C三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了 部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A班6 6.5 7 7.5 8 B班6 7 8 9 10 11 12 C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （I ） 试估计 C班的学生人数； （II ） 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设 所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （III）再从 A、B 、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位： 小时） ， 这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记， 表格中数据的平均数记为， 试判断和 的大小，（结论不要求证明） . . （17） （本小题 14 分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面 ABCD ，PA PD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5 , （I ）求证： PD 平面 PAB; （II ）求直线PB与平面 PCD所成角的正弦值； （II I）在棱 PA上是否存在点M ，使得 BMll 平面 PCD? 若存在，求 AM AP 的值；若不存在，说明理由。 （18） （本小题 13 分） 设函数 f(x)=xe ax e +bx ，曲线 y=f(x)d hko (2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4 ， （I ）求 a,b 的值； (I I) 求 f(x)的单调区间。 （19） （本小题 14 分） 已知椭圆C ： 22 22 1 Xy ab （ ab0）的离心率为 3 2 ，A（a,0 ）,B(0,b)，O （0，0） ， OAB的面积为1. （I ）求椭圆C的方程； (I I)设 P的椭圆 C上一点，直线PA与 Y轴交于点M ，直线 PB与 x 轴交于点N。 求证： lANlg lBMl为定值。 （20） （本小题 13 分） 设数列A： 1 a， 2 a , N a (N 2) 。如果对小于n(2 nN)的每个正整数k 都有 k a n a，则称n 是 数列 A的一个“ G时刻” 。记“ G （ A）是数列A 的所有“ G时刻”组成的集合。 （I ）对数列A：-2，2，-1 ，1，3，写出 G（A）的所有元素； (I I)证明：若数列A中存在 n a使得 n a 1 a，则 G （ A）； (I I I）证明：若数列A满足 n a- 1n a 1（n=2,3, ,N ）, 则 G （ A）的元素个数不小于 N a - 1 a。 普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分） （1） C （2）C （3）B （4）D （5） C （6）A （7）A （8）B . . 二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30 分） （9） 1 （10）60 （11)2（12）6 （13）2（14）2) 1,( 三、解答题（共6 小题，共80 分） （15） （共 13 分） 解： （）由余弦定理及题设得 2 2 2 2 2 cos 222 ac ac ac bca B. 又因为 B0 ，所以 4 B. （）由（）知 4 3 CA. ) 4 3 cos(cos2coscos2AACA ) 4 cos(sin 2 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 cos2AAAAAA, 因为 4 3 0A，所以当 4 A时，CAcoscos2取得最大值1. （16） （共 13 分） 解： （）由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名. 根据分层抽样方法，C班的学生人数估 计为40 20 8 100. （）设事件 iA为“甲是现有样本中A班的第i个人”，5,2, 1i， 事件 j C 为“乙是现有样本中C班的第j个人” ，8 , 2, 1j， 由题意可知， 5 1 )( i AP，5 ,2, 1i； 8 1 )( j CP，8 , 2, 1j. 40 1 8 1 5 1 )()()( jiji CPAPCAP,5 ,2, 1i,8,2 ,1j. 设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”. 由题意知， 3323133222122111 CACACACACACACACAE 45352515342414 CACACACACACACA 因此 )()()()()()()()()( 3323133222122111 CAPCAPCAPCAPCAPCAPCAPCAPEP 8 3 40 1 15)()()()()()()( 45352515342414 CAPCAPCAPCAPCAPCAPCAP（） 01 . （17） （共 14 分） . . 解： （）因为平面 PAD 平面ABCD， ADAB ， 所以AB平面PAD. 所以PDAB. 又因为 PDPA ， 所以PD平面PAB. （）取AD的中点O，连结COPO,. 因为PDPA，所以ADPO. 又因为 PO 平面PAD，平面 PAD 平面 ABCD， 所以PO平面ABCD. 因为CO平面ABCD，所以POCO. 因为CDAC，所以ADCO. 如图建立空间直角坐标系xyzO. 由题意得， )1 ,0, 0(),0, 1,0(),0,0,2(),0, 1 , 1(),0, 1 ,0(PDCBA. 设平面PCD的法向量为),(zyxn，则 ,0 ,0 PCn PDn 即 , 02 ,0 zx zy 令2z，则2, 1 yx. 所以 )2, 2, 1(n . 又) 1, 1 , 1 (PB，所以 3 3 ,cos PBn PBn PBn. 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 3 3 . （）设M是棱PA上一点，则存在 1 ,0使得APAM. 因此点), 1(),1 ,0(BMM. 因为BM平面PCD，所以BM平面PCD当且仅当0nBM， . . 即0)2,2,1 (),1(，解得 4 1 . 所以在棱 PA上存在点M 使得 BM 平面PCD，此时 4 1 AP AM . （18） （共 13 分） 解： （）因为bxxexf xa )(，所以bexxf xa )1()(. 依题设， , 1)2( ,22)2( ef ef 即 , 1 ,2222 2 2 ebe ebe a a 解得eba,2. （）由（）知exxexf x2 )(. 由)1 ()( 12xx exexf即0 2 x e知，)(xf与 1 1 x ex同号 . 令 1 1)( x exxg，则 1 1)( x exg. 所以，当) 1 ,(x时，0)(xg，)(xg在区间)1 ,(上单调递减； 当), 1(x时，0)(xg，)(xg在区间), 1(上单调递增 . 故1)1(g是)(xg在区间),(上的最小值， 从而),(, 0)(xxg. 综上可知，0)(xf，),(x，故)(xf的单调递增区间为),(. （19） （共 14 分） 解： （）由题意得 , , 1 2 1 , 2 3 222 cba ab a c 解得1,2 ba. 所以椭圆C的方程为1 4 2 2 y x . （）由（）知，)1 ,0(),0, 2(BA， 设),( 00 yxP，则44 2 0 2 0 yx . 当0 0 x时，直线PA的方程为)2( 2 0 0 x x y y. 令0 x，得 2 2 0 0 x y yM . 从而 2 2 11 0 0 x y yBM M . 直线PB的方程为1 1 0 0 x x y y. . . 令0y，得 1 0 0 y x xN . 从而 1 22 0 0 y x xAN N . 所以 2 2 1 1 2 0 0 0 0 x y y x BMAN 22 8844 22 48444 0000 0000 0000 0000 2 0 2 0 yxyx yxyx yxyx yxyxyx 4. 当0 0 x时，1 0 y，, 2,2 ANBM 所以4BMAN. 综上，BMAN为定值 . （20） （共 13 分） 解： （）)(AG的元素为2和5. （）因为存在 n a使得 1 aan，所以 1 ,2aaNiNi i . 记 1 ,2minaaNiNim i ， 则2m，且对任意正整数 mk aaamk 1 ,. 因此)(AGm，从而)(AG. （）当 1 aaN时，结论成立. 以下设 1 aaN. 由（