3 泊松过程,泊松过程的定义 泊松过程的基本性质 泊松过程的应用举例 非齐次泊松过程 复合泊松过程,引言,泊松分布 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, ，而取各个值的概率为 则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。,3.1 泊松过程的定义,定义 称 N (t), t 0 为计数过程，若N (t)表示到时间t 为止已发生的“事件A”的总数，且N (t)满足下列条件：(1) N (t) 0 ; (2) N (t) 取整数;(3) 若 s t ，N (s) N (t) ;(4) 当s t 时， N (t) N (s)等于区间 (s, t 中“事件A”发生的次数。,泊松过程,定义 称计数过程 X (t) , t 0 为具有参数 0 的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程;(3) 在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次数服从参数 0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有,泊松过程的另一个定义,定义 称计数过程 X (t) , t 0 为具有参数 0 的泊松过程，若它满足下列条件：(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程;(3) X (t) 满足下列两式：,泊松过程的几个实例,考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电话交换台在 (0, t 时间内收到的呼叫次数，则 X(t) , t 0 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时间 (0, t 内到达售票窗口的旅客数，则 X(t) , t 0 是一个泊松过程。 考虑机器在 (t, t+h 内发生故障这一事件。若机器发生故障，立即修理后继续工作，则在 (t, t+h 内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描述。,3.2 泊松过程的基本性质,(1) 泊松过程的数字特征,均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数,(2) 时间间隔与等待时间的分布,设 X (t), t 0 是泊松过程，令X (t)表示时刻事件A发生（顾客出现）的次数，,Wn 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间 Tn 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔，或称第n个时间间隔,时间间隔的分布,Tn 的分布函数：,定理 设 X (t), t 0 是具有参数的泊松过程，Tn , n 1 是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,)是独立同分布的均值为1/ 的指数分布。,Tn 的概率密度：,等待时间的分布, 分布又称为爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。,定理 设 X (t), t 0 是具有参数的泊松过程，Wn , n 1 是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为n与 的 分布，其概率密度为,例1,已知仪器在 0 , t 内发生振动的次数 X(t) 是具有参数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。,解 仪器发生第k次振动的时刻Wk 就是故障时刻，,故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:,(3) 到达时间的条件分布,假设在0 , t 内事件A已经发生一次，确定这一事件到达时间W1的分布,分布函数：,分布密度：,均匀分布,到达时间的条件分布,定理 设 X (t), t 0 是泊松过程，已知在0, t内事件A发生n次，则这n次到达时间W1 W2 Wn与相应于n个0, t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布，,3.3 泊松过程的应用举例,例2 设在 0 , t 内事件A已经发生 n 次，且0 s t，对于0 k n ，求在 0 , s 内事件A发生 k 次的概率。,参数为 n 和 s/t 的二项分布,设在 0 , t 内事件A已经发生 n 次，求第k (k n)次事件A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。,例3,Beta分布,