大题专项练(一)三角函数A组基础通关1.已知在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且ccos B+(b-2a)cos C=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求ABC的面积S的最大值.解(1)因为ccos B+(b-2a)cos C=0,所以sin Ccos B+(sin B-2sin A)cos C=0,所以sin Ccos B+sin Bcos C=2sin Acos C,所以sin(B+C)=2sin Acos C.又因为A+B+C=,所以sin A=2sin Acos C.又因为A(0,),所以sin A0,所以cos C=12.又C(0,),所以C=3.(2)由(1)知,C=3,所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab.又c=2,所以4=a2+b2-ab.又a2+b22ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab4.所以ABC面积的最大值(SABC)max=12absinCmax=124sin3=3.2.如图,在梯形ABCD中,A=D=90,M为AD上一点,AM=2MD=2,BMC=60.(1)若AMB=60,求BC;(2)设DCM=,若MB=4MC,求tan .解(1)由BMC=60,AMB=60,得CMD=60.在RtABM中,MB=2AM=4;在RtCDM中,MC=2MD=2.在MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BMMCcosBMC=12,BC=23.(2)因为DCM=,所以ABM=60-,00)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x的图象,求的最小值.解(1)f(x)=mn-32=2acos2x+bsin xcos x-32,由f(0)=2a-32=32,得a=32,此时,f(x)=32cos 2x+b2sin 2x,由f(x)34+b24=1,得b=1或b=-1,当b=1时,f(x)=sin2x+3,经检验12,1为最高点;当b=-1时,f(x)=sin2x+23,经检验12,1不是最高点.故函数的解析式为f(x)=sin2x+3.(2)函数f(x)的图象向左平移个单位后得到函数y=sin2x+2+3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sinx+2+3的图象,所以2+3=2k(kZ),=-6+k(kZ),因为0,所以的最小值为56.4.函数f(x)=Asinx+6(A0,0)的最大值为2,它的最小正周期为2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若g(x)=cos xf(x),求g(x)在区间-6,4上的最大值和最小值.解(1)由已知f(x)最小正周期为2,所以2=2,解得=1.因为f(x)的最大值为2,所以A=2,所以f(x)的解析式为f(x)=2sinx+6.(2)因为f(x)=2sinx+6=2sin xcos6+2cos xsin6=3sin x+cos x,所以g(x)=cos xf(x)=3sin xcos x+cos 2x=32sin 2x+1+cos2x2=sin2x+6+12.因为-6x4,所以-62x+623,于是,当2x+6=2,即x=6时,g(x)取得最大值32;当2x+6=-6,即x=-6时,g(x)取得最小值0.5.已知函数f(x)=sin(x+)(0,0)的一系列对应值如表:x-4064234y01120-10(1)求f(x)的解析式;(2)若在ABC中,AC=2,BC=3,f(A)=-12(A为锐角),求ABC的面积.解(1)由题中表格给出的信息可知,函数f(x)的周期为T=34-4=,所以=2=2.注意到sin(20+)=1,也即=2+2k(kZ),由0AC,B0,所以6-8cos 0,即cos 0,解得-12cos 1,又cos 34,不妨设cos 0=34,则函数f()在0,23上为增函数;令f()0,解得cos -12,则函数f()在23,上为减函数,所以当=23时,f()max=363a.答:(1)绿化区域的面积为83 km2;(2)当=23时,园林公司的销售金额最大,最大为363a百万元.10