,材料力学,第十一章 能量方法,第十一章 能量方法,111 变形能的普遍表达式 112 莫尔定理(单位力法) 113 卡氏定理,111 变形能的普遍表达式,一、能量原理：,二、杆件变形能的计算：,1.轴向拉压杆的变形能计算：,能量方法,弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即,利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。,2.扭转杆的变形能计算：,3.弯曲杆的变形能计算：,能量方法,MN,例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。,解：用能量法（外力功等于应变能）,求内力,能量方法,A,P,R,O,外力功等于应变能,变形能：,能量方法,例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。,解：外力功等于应变能,应用对称性，得：,思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？,能量方法,C,a,a,A,P,B,f,112 莫尔定理(单位力法),求任意点A的位移f A 。,一、定理的证明：,能量方法,a,A,图,fA,莫尔定理(单位力法),二、普遍形式的莫尔定理,能量方法,三、使用莫尔定理的注意事项：, M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。,莫尔积分必须遍及整个结构。, M0去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。, M(x)：结构在原载荷下的内力。, 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。,能量方法,例3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。,解：画单位载荷图,求内力,能量方法,B,q,x,变形,能量方法,x,求转角，重建坐标系（如图）,能量方法,=0,例4 拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。,解：画单位载荷图,求内力,能量方法,5,20,A,300,P=60N,B,x,500,C,x1,变形,能量方法,113 卡氏定理,给Pn 以增量 dPn ，则：,1. 先给物体加P1、 P2、 Pn 个力，则：,2.先给物体加力 dPn ，则：,一、定理证明,能量方法,再给物体加P1、 P2、Pn 个力，则：,能量方法,意大利工程师阿尔伯托卡斯提安诺(Alberto Castigliano， 18471884),二、使用卡氏定理的注意事项：,U整体结构在外载作用下的线 弹性变形能, Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数, n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的变形。, 当无与 n对应的 Pn 时，先加一沿 n 方向的 Pn ，求偏导后， 再令其为零。,能量方法,三、特殊结构（杆）的卡氏定理：,能量方法,例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。,变形,求内力,解：求挠度，建坐标系,将内力对PA求偏导,能量方法,A,L,P,EI,求转角 A,求内力,没有与A向相对应的力（广义力），加之。,“负号”说明 A与所加广义力MA反向。( ),将内力对MA求偏导后，令M A=0,求变形（ 注意：M A=0）,能量方法,L,x,O,A,P,M,A,例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。,解：求挠曲线任意点的挠度 f（x）,求内力,将内力对Px 求偏导后，令Px=0,没有与f（x）相对应的力，加之。,能量方法,P,A,L,x,C,变形（ 注意：Px=0）,能量方法,例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。,求内力,解：1.依 求多余反力，,将内力对RC求偏导,取静定基如图,能量方法,P,C,A,L,0.5 L,B,变形,能量方法,2.求,将内力对P求偏导,求内力,能量方法,变形,能量方法,变形,解：画单位载荷图,求内力,例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离。,P,P,A,B,能量方法,第十一章 练习题 一、抗拉（压）刚度为EI的等直杆，受力如图，其变形能是否为： 二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。 三、刚架受力如图，已知EI为常数，试用莫尔定理求A、B两点间的相对位移（忽略CD段的拉伸变形）。,能量方法,解：,能量方法,四、抗弯刚度为EI的梁如图，B端弹簧刚度为k，试用卡氏定理求力P作用点的挠度。 解： 系统的变形能 C截面的挠度,能量方法,本章结束,