2020 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 . 1. 设z 2 1 (1) i i , 则|z| （） A. 1 2 B. 2 2 C. 1 D. 2 2. 已知集合|2 x Ay y ， 2 |320Bx xx 则（） A. ABIB. ABRUC. ABD. BA 3. 设为平面，m，n为两条直线，若m，则“mn”是“n”的（） A. 充分必要条件B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线C： 22 22 1 yx ab （0a，0b） 的 两条渐近线互相垂直，则C的离心率为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 5. 已知定义在R上的函数fx满足2fxfx，当01x时， 1 3 fxx ，则 17 () 8 f（） A. 1 2 B. 2 C. 1 8 D. 8 6. 若 1 x， 2 x ，n x 的平均数为a，方差为b，则1 23x ，2 23x ， 23 n x 的平均数和方差分别为 （） A. 2a，2bB. 2a，4bC. 23a，2bD. 23a，4b 7. 记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 4S， 4 2S，则 6 S（） A. 6B. 4C. 2D. 0 8. 函数f（x） 14 2 x x sinx 的部分图象大致为（） A . B. C. D. 9. 已知椭圆C： 22 2 1 3 xy a 的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足OFFP，则C的 方程为（） A. 22 1 123 xy B. 22 1 83 xy C. 22 1 63 xy D. 22 1 43 xy 10. 下面图 1 是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图. 其阴离子排列如图2 所示 , 图 2 中圆的半径均为1, 且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心, 则 AB uuu r ?CD uuu r （） A. 32 B. 28 C. 26 D. 24 11. 意大利数学家斐波那契（1175 年 1250 年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8， 该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即 21nnn aaanN故此数列称为斐波那契数列， 又称“兔子数列”，其通项公式为 11515 22 5 nn n a（设n是不等式 2 log15 x 15211 x x的正整数解，则 n的最小值为（） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 12. 已知直线 y 与函数sinfxx（01）的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右 依次记为A，B，C，且满足 ACnBC uuu ru uu r * Nn 有下列结论： n的值可能为2 当3n，且时，fx的图象可能关于直线x对称 当 6 时，有且仅有一个实数，使得fx在 , 11 上单调递增； 不等式1n恒成立 其中所有正确结论的编号为（） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 曲线lnyxx在点(1,0)处 的 切线的方程为 _ 14. 若x，y满足约束条件 20 0 30 y xy xy ，则 y z x 的最大值为 _. 15.2020 年初， 湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国 人民心系湖北， 志愿者纷纷驰援若将4 名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1 人） ，则共有 _种分配方案 . 16. 已知正方形ABCD边长为 3，点E，F分别在边 AB，AD上运动 （E不与 A，B重合，F不与A，D重合）， 将 AEFV 以EF为折痕折起， 当A，E，F位置变化时， 所得五棱锥AEBCDF体积的最大值为_. 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721题为必考题，每 个试题考生都必须作答，第22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60 分 17.ABCV中，D为BC上的点， AD平分 BAC ，5AD，8AC，ACDV的面积为10 3. （1）求CD的长； （2）求sinB. 18. 如图， 三棱柱 111 ABCA B C中， 底面ABC为等边三角形，E，F分别为 AB，1 AA中点， 1 CEFB， 11 2 3 2 3 ABAAEB. （1）证明：EF平面 1 CEB ； （2）求直线 EF 与平面 1 CFB 所成角的大小. 19. 足球运动被誉为“世界第一运动”. 为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对 报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下： （1）下表是某同学6 次的训练数据，以这150 个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率. 为加入足 球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为， 求E； （2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接 球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到. 记开始传 球的人为第1 次触球者， 接到第n次传球的人即为第1n次触球者nN ，第n次触球者是甲的概率记 为 n P. （i）求 1 P， 2 P，3 P （直接写出结果即可） ； （ii）证明：数列 1 3 n P为等比数列 . 20. 在平面直角坐标系 xOy中，P为直线 0 l：4x上的动点，动点Q满足 0 PQl ，且原点O在以PQ为 直径的圆上 . 记动点Q的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程： （2）过点2,0E的直线 1 l 与曲线C交于A，B两点，点D（异于A，B）在C上，直线 AD，BD分别与 x 轴交于点M，N，且 3ADAM uuu ru uuu r ，求BMN面积的最小值. 21. 已知函数 1 cos ax fxex（0a）. 其中常数2.71828eL是自然对数的底数. （1）若 3a ，求fx在0, 2 上的极大值点； （2） （i）证明fx在 2 0, 1 a a 上单调递增； （ii）求关于x的方程 1 a fxe 在0, 2 上的实数解的个数. （二）选考题：共10 分，请考生在第 22、23 两题中任选一题作答 . 注意：只能做所选定的题 目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22. 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽， 在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔， 使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆， 其中 |MA| 2，|MB| 1，如图， 以两条导槽的交点为原点O， 横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系. （1）将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为 （0 2），用表示点M的坐标，并求出 C的普通方程； （2）已知过C的左焦点F，且倾斜角为（0 2 ）的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于 l1的直线l2与C交于G，H两点 . 当 1 FE ， |GH| ， 1 FD 依次成等差数列时，求直线l2的普通方程 . 选修 4-5：不等式选讲 23. 已知a，b，c正实数，且满足a+b+c1. 证明： （1）|a 1 2 |+|b+c1| 1 2 ； （2） （a 3+b3+c3） （ 222 111 abc ） 3.