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大学物理 力学第四篇:运动的质量清华大学电子工程系 无13班 蔡杨导论:做功和能量是力学研究中的一个永恒的主题。从功能原理,到动能定理,到机械能守恒,到能量守恒,似乎已经成为了我们我学习力学的一贯路径。但是本文毕竟不是正版教材,因此不会按常规套路出牌。我们将从不同于上述套路的几个方面来讨论功和能量。由于我们以前主要是以地作为参考系,而且只研究单个质点,对于非惯性系和质点系统的认识还不够。本文将主要从这几个方面展开。首先介绍几个定义:(1) 保守力和耗散力(或称非保守力):保守力:做功和路径无关,只与始末位置有关的力叫做保守力。保守力都有其对应的势能。如:重力,静电场力等。耗散力:做功和路径有关,而且通常伴随的是系统能量的减少(耗散)的力称为耗散力。耗散力无所谓势能。如:摩擦力。(2) 质心系:与一个质点系统的质心固连的参考系叫做质心系。质心系威力之巨大,令人发指。许多力学问题在地面系中无从下手,但在质心系中,只在弹指一笑之间。(它是个零动量参考系,即在此参考系中观测到的系统的总动量为)(3) 内力和外力:内力:系统内部的成员之间的相互作用称为内力。外力:系统内部成员以外的质元对系统内部成员的作用力称为外力。(4)恢复系数:实际物体都不是完美的刚体。两物体碰撞后的相对速度一般都比碰前要小。碰后速度同碰前速度的比值称为恢复系数。其次给出几个基本定理:(1) 非惯性系的功能原理:地参考系中的功能原理:一个质点系,以地为参考系:外界对系统所做的功=系统能量的变化。非惯性系中的功能原理:由于我们研究范围暂不涉及其他能量,因此右侧的特指机械能。(2) *质点系的动能定理(和教程不一样):假设一个质点系有个质点,对其中的第个质点用动能定理:将系统内的所有质点的方程加起来,得到:即:在某个过程中,外力对系统所做的功和内力所做的功的和=质点系统总的动能的变化。(这个讨论和教程不一样,仅作参考,如有谬误,请付之一笑)(3) 非惯性系中的动能定理:加个惯性力以后就和我们经常说的动能定理一样了。(真实力+惯性力)对质点所做的功=质点动能的变化(4) 质点系的柯尼希定理(描述质点系在地参考系中的动能和在质心系中的动能的关系):注:下式中表示对地动能,表示对质心系动能。表示对地速度,表示对质心系速度,表示质心的速度。为第个质点的质量,为整个系统的总质量。表示质心系的质元个数。上式利用了一个结论 : 质心系是零动量参考系,即得到:(5) 瞬时的巨大作用(碰撞和爆炸):通常认为此过程动量守恒,能量不守恒(但是有个恢复系数)。大家通常习惯于列两个方程:动量守恒+能量关系。实际上这里面蕴含了一个重大的秘密:上面那个二次方程组,不好解,我们可以写作一个格式,但不用去解它。上面的方程组在物理意义上等价于: 动量守恒 远离速度=接近速度很多人不禁会问,二次方程组应该有两组解,怎么会等价于两个线性方程呢。我想反问一句,每次做这种题解出来俩解,你的答案一般是一个呢?还是两个呢?那就让我们进入魔幻的能量题海吧:(每次都能看到这一题)两个等高的小定滑轮相距为m,物块A和B的质量都是1kg,物块C的质量为1.9kg。初始时两滑轮间的细绳水平,系统静止。假设绳和滑轮的质量均不计,且不计滑轮轴上的摩擦。当C下降0.75m时,试问:(1)A、B、C的速度分别是多少。(2)A、B、C的加速度分别是多少。解答:本题很多辅导材料上都有,但有很多都是解错的。错误的原因一般都在于:他们认为第二小问答案是0。下面将证明这是不对的。在题文中研究的时刻,易得以下几何关系:(1) 思路:一个机械能守恒就解决问题了。注意二者的速度关系即可。中间物块沿绳方向的分速度等于旁边物块的速度。然后就是势能减少量 = 动能增加量所求A、B、C的速度分别记作,有机械能守恒:还有个速度牵连:代入有关数据,解得:(2) 设绳中张力为T,左右的小物块的加速度为,中间的小物块的速度为。则有动力学方程:下面便是比较容易错的一步:有平面极坐标方程下的加速度表达式:径向加速度:整理后得到:从这个结果我们惊奇地发现:速度最大的点还不在这里,那个位置应该在更下方的位置。至于具体位置,还有待笔者的进一步计算。如下图所示,假设地面光滑。三个半径均为r,质量分别为m、的球叠放在一起,他们之间的摩擦力忽略不计。试求解当小球A落地时它的速度为多少?解答:如下图所示为角位置为时的情况,假设此时A、B两球即将分离,则根据机械能守恒定律得到:沿直线方向速度相等:由于即将分离,二者之间没有相互作用力:取B做参考系,则此系为一惯性系。A相对于它作圆周运动,相对速度:列出A的动力学方程:解得:此后A与另外两个球分道扬镳,不再接触。对系统从静止到A落地使用机械能守恒:A落地时:轻松加愉快地解得:做完这一题的感觉:分析清楚了受力和运动,这个题看起来爆2B。不过计算真的很烦人。而且多了一项、少了一项都会是致命的错误。所以,如果做错了,借用司马懿那句话安慰你下:下次注意点儿!如图,质量为的小环套在水平光滑的固定细杆上,并用长为地轻线与质量为的小球连接。初始时轻线位于水平位置且处于拉直状态,问轻线与杆夹角为时线中的张力。解答:角方位为时运动状态已经在图中给出(画了好久哦亲)。有由此可以解出:因此小球相对于环的速度下面进行动力学分析:以小环作为参考系,此系为一非惯性系,其加速度:小球在此系中的动力学方程(沿法向):联立上述两式,可以解得:小球从水平地面上以初速度斜抛出去,小球落地时在竖直方向上发生的非弹性碰撞恢复系数为,小球与地面间的摩擦因数为。若要求小球第一次与地面碰撞后竖直弹起,试求小球可能达到的最大水平射程。解答:小球的水平、竖直初速度分别为:水平射程为:竖直方向上用动量:合理近似得到:水平方向上用动量:上式中:整理得到:代入的数值后得到:讨论:(1)若,则可以取,则有:=(2) 若,则抛射角的取值范围:此时当取最小时,抛射距离最大:本题精华在于摩擦力冲量和支持力冲量的关系!在水平桌面上,质量分别为和()的两个物体A、B,由一个倔强系数为的轻弹簧连接,两物体与桌面的摩擦系数都是。开始时,A静止而B以初速度的初速度拉伸弹簧,求弹簧的最大伸长量的值。解答:这道题从惯性系来解,生还的可能性非常之小。但是从质心系中来看这个问题,却显得十分的简单。我们将问题分作两部分来研究:(1) A尚未运动前:A运动的条件:而此过程中:代入,得到:(2) A运动起来后,在质心系里面看:功能原理告之:由于在质心系中,惯性力对系统不做功,即(惯性力对系统的作用等效作用于质心,而在质心系中质心的位置不变)而摩擦力做功:式中,故得到:解之:注:折合质量,上式中我们十分轻松的写出了质心系中二质点系统的动能,这是因为我们有利器在手。质心系中二质点系统的动能:上式中,为二质点系统的折合质量。是两质点的相对速度,在牛顿的世界观里,这个速度和参考系的选取无关。解题中之所以不写出,是怕和摩擦系数弄混。特此声明。(折合质量各类教材中都会给出十分详细讨论。这儿就打打酱油,从略了。个人观点:科大的力学篇关于折合质量的部分很不错)。在我的观点里,做功和能量是力学中最优美的求解形式。它不用将运动分离的四分五裂,破坏自然界的和谐。只关心始末的状态。然而,很多时候也会令人抓狂。总而言之,运动的质量:功和能量是力学殿堂中举足轻重的一位长老,我们想要征服他,就首先要膜拜他。2012.3.9
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