全国高中数学联赛试题平面几何（高二数学514）2012年全国高中数学联赛 加试1如图，在锐角ABC中，ABAC，M、N是BC边上不同的两点，使得BAM=CAN，设ABC和AMN的外心分别为、，求证：、A三点共线2011年全国高中数学联赛 加试1. （40分）分别是圆内接四边形的对角线的中点若，证明： 2011全国高中数学联赛模拟题 加试2. （本题满分40分）在直角三角形ABC中，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF已知，求证：2010年全国高中数学联赛 加试1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M求证：若OKMN，则A，B，D，C四点共圆2009年全国高中数学联合竞赛 加试一、如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点过点作/交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于（I）求证：当；（II）在弧（不含点）上任取一点（，），记，的内心分别为，求证：，四点共圆2008年全国高中数学联合竞赛 加试A卷一、（本题满分50分）图1如题一图，给定凸四边形，是平面上的动点，令（）求证：当达到最小值时，四点共圆；（）设是外接圆的上一点，满足：，又是的切线，求的最小值2008年全国高中数学联合竞赛 加试B卷题一图一、（本题满分50分）如题一图，是圆内接四边形与的交点为，是弧上一点，连接并延长交于点，点分别在，的延长线上，满足，求证：四点共圆 2007年全国高中数学联合竞赛 加试一、（本题满分50分）如图，在锐角ABC中，ABAC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN，求的值。2001年全国高中数学联合竞赛试题 加试一（本题满分50分）如图，ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N求证：(1) OBDF，OCDE；(2) OHMN2000年全国高中数学联合竞赛试卷 加试一、(满分50分)如图，在锐角ABC的BC边上有两点E、F，满足BAE=CAF，作FMAB, FNAC(M,N是垂足)，延长AE交ABC的外接圆于点D。证明：四边形AMDN与ABC的面积相等。1999年全国高中数学联合竞赛 加试一(满分50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GACEAC1998年全国高中数学联合竞赛 二试一、（满分50分）如图，O、I分别为ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上。求证：ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。注：ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。1997年全国高中数学联合竞赛试卷 二试一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的O1与O2相交于M、N两点，且O1、O2分别与O内切于S、T两点。求证：OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线。1996年全国高中数学联合竞赛 二试三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。EFABCGHPO1。O21995年全国高中数学联赛 第二试三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证： MQNP1994年全国高中数学联赛试题 第二试三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I， ，的外角平分线交圆O于E，证明: (1) IO=AE；(2) 1993年全国高中数学联合竞赛 第二试一、（35分）设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点试证n应满足的充分必要条件是n4三、（35分）水平直线m通过圆O的中心，直线lm，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆 O的三条切线，P,Q,R为切点试证：(1)l与圆O相切时，ABCR+BCAP=ACBQ；(2)l与圆O相交时，ABCR+BCAPACBQ；(3)l与圆O相离时，ABCR+BCAPACBQ.1992年全国高中数学联合竞赛 第二试一、(35分) 设A1A2A3A4为O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置 1991年全国高中数学联合竞赛 第二试二设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 OOABCDP1OOO234F1990年全国高中数学联合竞赛 第二试一(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4求证OP、O1O3、O2O4三直线共点 1989年全国高中数学联合竞赛 第二试ABCEF一(本题满分35分)已知 在ABC中，ABAC，A的一个外角的平分线交ABC的外接圆于点E，过E作EFAB，垂足为F求证 2AF=AB-AC 1988年全国高中数学联合竞赛 第二试二如图，在ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：1987年全国高中数学联合竞赛 第二试一如图，ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定ABC，而将ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使BMD为等腰直角三角形1986年全国高中数学联合竞赛 第二试2(本题满分17分)已知锐角三角形ABC的外接圆半径为R，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，求证：AD，BE，CF是ABC的三条高的充要条件是S=(EF+FD+DE）式中S是三角形ABC的面积 1985年全国高中数学联合竞赛 第二试4平面上任给5个点，以表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：2sin54 1984年全国高中数学联合竞赛 第二试3(本题满分15分)在ABC中，P为边BC上任意一点，PEBA，PFCA，若SABC=1，证明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一个不小于(SXYZ表示多边形XYZ的面积)1983年全国高中数学联合竞赛 第二试3(本题满分16分) 在四边形ABCD中，ABD、BCD、ABC的面积比是341，点M、N分别在AC、CD上满足AMAC=CNCD，并且B、M、N三点共线求证：M与N分别是AC与CD的中点1982年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛 3(本题16分)已知： 半圆的直径AB长为2r； 半圆外的直线l 与BA的延长线垂直，垂足为T，|AT|=2a(2a)； 半圆上有相异两点M、N，它们与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件=1求证：|AM|+|AN|=|AB|4(本题20分)已知边长为4的正三角形ABCD、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且|AE|=|BF|=|CD|=1，连结AD、BE、CF，交成RQS点P在RQS内及边上移动，点P到ABC三边的距离分别记作x、y、z 求证当点P在RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值； 求上述乘积xyz的极小值1981年二十五省、市、自治区中