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直线与椭圆知识与归纳:1.点与椭圆的位置关系点P(x0,y0)在椭圆内部的充要条件是 ;在椭圆外部的充要条件是 ;在椭圆上的充要条件是 .2.直线与椭圆的位置关系.设直线l:Ax+By+C=0,椭圆C:,联立l与C,消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程,此一元二次方程的判别式为,则l与C相离的0.3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长,往往是设而不求,即设弦两端坐标为P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|= (k为直线斜率)形式(利用根与系数关系)一,直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线与椭圆的位置关系例题2、若直线与椭圆恒有公共点,求实数的取值范围二、弦长问题例3、已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,若过点P(0,-2)及F1的直线交椭圆于A,B两点,求ABF2的面积例题4、 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在轴上的椭圆,过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于,两点,求弦的长例题5、已知是直线被椭圆所截得的线段的中点,求直线的方程若已知焦点是、的椭圆截直线所得弦中点的横坐标是4,则如何求椭圆方程?例题6、已知椭圆及直线(1)当为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为,求直线的方程例题7、 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆交于P和Q,且OPOQ,|PQ|=,求椭圆方程.三,对称问题例题8、已知椭圆,试确定的取值范围,使得对于直线,椭圆上有不同的两点关于该直线对称说明:涉及椭圆上两点,关于直线恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式:(1)利用直线与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式,建立参数方程(2)利用弦的中点在椭圆内部,满足,将,利用参数表示,建立参数不等式四,最值问题例题9、 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=,已知点P(0, )到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程.例题10、 设椭圆方程为,过原点且倾斜角为和-(0)的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点. (1)用表示四边形ABCD的面积;(2)当(0, )时,求S的最大值.练习题:1、在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和(I)求的取值范围;(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由2、椭圆与直线交于、两点,且,其中为坐标原点.(1)求的值;(2)若椭圆的离心率满足,求椭圆长轴的取值范围. 3、设、分别是椭圆的左、右焦点.()若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;()设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
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