第七章 欧拉方程,7.1 欧拉运动学方程 7.2 欧拉动力学方程 7.3 重刚体定点转动的求解,1.刚体定点转动的例子,陀螺,(一) 欧拉角,7.1 欧拉运动学方程,刚体绕固定点转动时，自由度是3，因而确定刚体的位置需要三个独立变量。这三个独立变量可以有各种取法，最常用的一种取法是用两个角度确定瞬时转轴的方位，再用另一个角度确定刚体绕这个轴所转过的角度。这三个角通常称为欧拉角。 为描述定点转动，选定点为坐标原点，用三个独立变化的角度（欧拉角）确定转轴取向和绕转轴转过的角度.,2.欧拉角,节线ON,进动角,自转角,章动角,Z轴位置由,角决定,一般说来，刚体若作定点转动，则其欧拉角是时间的函数。如果确定了三个函数关系式，就确定了刚体的运动，也就是说，如果选欧拉角为坐标，有,这就是刚体定点转动的运动方程。由（7.11）式可以确定刚体在任何时刻欧拉角的数值，从而就确定了刚体的位置。,（7.11）,3.刚体定点转动的运动方程,(二). 瞬时角速度与瞬时转轴,由上面的论述可知，如果采用欧拉角描述刚体的定点转动，则刚体在每一时刻都具有互相独立的自转角速度、章动角速度和进动角速度。因此，刚体的瞬时角速度应是这三个角速度的矢量和，即,(7.13),1.瞬时角速度,定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。,定点转动时，转动轴的方向随 时间变化，转动瞬轴在空间描绘的 锥面称空间极面，在刚体内描绘的 锥面称本体极面。,定点转动时，一个角速度矢量 （有三个分量）就足以描述刚体运动。,2.瞬时转轴,(三).欧拉运动学方程,在直角坐标系,1.速度,2.加速度,（四）速度和加速度,转动加速度,向轴加速度,解：这个是一般运动问题,例 7-1 B当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联线和沿垂线成角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度AB l，螺旋桨自身旋转的角速度为1。,因此，B点的速度为：,B点的加速度为：,(一) 定点转动的角动量定理,求解刚体定点转动的基本方程是角动量方程。如果刚体绕定点O以角速度 转动，则由角动量定理可得,7.2 欧拉动力学方程,利用第三章的惯量张量,可以写出角动量定理的分量形式,(二).欧拉的两点简化,2.取惯量主轴为坐标轴,1.采用本体坐标系,由于刚体相对于静止坐标系是运动的，故上式左部所包含的惯量系数必然都是时间t的函数。这使得方程（7.23）的求解极为复杂。如果采用本体坐标系则惯量系数将均为常数.从而使问题的求解得以简化。所谓本体坐标系就是固着在刚体上的坐标系。,当取惯量主轴为本体坐标系的坐标轴时,全部惯量积便均为0,于是可以使问题的求解大为简化.,(三).欧拉方程,基本方程,将坐标系固联于刚体，则,但,为什么？,取惯量主轴为坐标轴，有,欧拉动力学方程,机械能守恒,(四) 由拉格朗日方程推导欧拉方程,以三个欧拉角 、 为广义坐标，取刚体的三条惯量主轴为动坐标系的x、y、z轴。由第五章讨论知道，当广义坐标为角量时，对应的广义力为沿转动轴方向的外力炬分量。但与 、 对应的广义力并不是沿惯量主轴方向的力矩分量，而是沿着节线方向和固定坐标系Z轴的力矩分量，只有与广义坐标 对应的广义力 才是沿主轴（z轴）方向的力矩分量 。下面，利用拉格朗日方程推导z分量的欧拉动力学方程。,利用欧拉运动学方程,这就是z分量的欧拉动力学方程。由于把哪一个主轴作为z轴是完全任意的，因此我们可以通过轮换下标的方法写出沿其它两个方向的欧拉动力学方程。对所有轴的方程为,这就是由拉格朗日方程推导出的刚体定点运动时的欧拉动力学方程。,值得指出的是，如只限于在正交系中求解，则方程（7.2-11）的第三式是唯一能够直接用拉格朗日方程导出的方程，而其它两式都不能通过拉格朗日方程直接求得，其原因如前面所述，与广义坐标 对应的广义力不是 ，而是沿节线方向和固定坐标系Z轴方向的力矩分量。事实上，在很多情况下，我们并不需要知道欧拉动力学方程，而是直接利用拉格朗日方程给出以欧拉角为广义坐标的刚体定点运动的微分方程。以欧拉角为广义坐标的刚体定点运动的拉格朗日函数为,(一). 几种可解情况,一个刚体，除约束反力外，有时只在重力作用下作 定点转动，我们把这种刚体叫重刚体，例如陀螺陀螺 下端和地面接触的那一点是一个定点,已知的可解情况 1. 欧勒潘索情况 外力的合力通过固定点 O，固定点O 和刚体的重心G相重合，形状没有限制不对称陀螺或 欧勒陀螺。 2. 拉格朗日泊松情况 I1 I2 I3，刚体的重心则位于 动力对称轴上但不与固定点重合回转仪，也叫拉格朗 日陀螺或简称陀螺。 3CD可娃列夫斯卡雅情况 I1 I2 2I3，重心在惯 量椭球的赤道平面上对称陀螺。,7.3 重刚体定点转动的求解,(二). 欧勒潘索情况,欧勒动力学方程,一般情况仍难以求解，若I1=I2，,总角速度的大小,方向绕Oz作匀速转动，绘圆锥体 周期为,利用第一积分和欧勒运动学 方程，可求出运动规律。,欧勒运动学方程,首先注意，动量矩是恒矢量（M=0）取其方向为（与 同方向），它在固定坐标系的分量与 也相同。,积分，得,除了绕z轴自转，还绕轴进动,天文地轴,地理地轴,从地球看天文地轴（地球转动瞬轴）绕地理地轴 （地球的对称轴）转动,因,这种现象在天文学上叫做纬度变迁。由于太阳引力和月球引力对地球质心的力矩不为零，这只是一种近似。实际测量的结果为为14个月。,所以，天文地轴绕地理地轴转动的周期为,K与进动角速度同方向,(三). 拉格朗陀螺,势能,1. 动能和势能,可写出拉格朗日函数,2.拉格朗日函数与守恒量,即,令,3.章动的求解,只要知道x与t的关系， 运动就完全确定。,由于地球是一个扁球体,太阳引力和月球引力对地球质心 的力矩使得地球自转轴在地心参考系中产生进动. 进动周 期大约是25800年，章动周期19年。由于进动,从地球上看, 地轴的赤道平面在空间改变取向的结果春分点和秋分点逐 年有所变化，这种现象叫岁差。,黄极,谢谢大家！,