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1 初中数学难题集锦初中数学难题集锦 组题:韩松 1(本小题满分 10 分) 如图,AB为O的直径,点C在O上,过点C作O的切线交AB的延长线于点D, 已知D30. 求A的度数; 若点F在O上,CFAB,垂足为E,CF34,求图中阴影部分的面积. 2. 先阅读下面材料,然后解答问题:(本小题满分 10 分) 【材料一】:如图,直线l上有 1 A、 2 A两个点,若在直线l上要确定一点P,且使 点P到点 1 A、 2 A的距离之和最小,很明显点P的位置可取在 1 A和 2 A之间的任何地方,此 时距离之和为 1 A到 2 A的距离. 如图,直线l上依次有 1 A、 2 A、 3 A三个点,若在直线l上要确定一点P,且使 点P到点 1 A、 2 A、 3 A的距离之和最小,不难判断,点P的位置应取在点 2 A处,此时距离 之和为 1 A到 3 A的距离. (想一想,这是为什么?) 不难知道,如果直线l上依次有 1 A、 2 A、 3 A、 4 A四个点,同样要确定一点P,使它 到各点的距离之和最小,则点P应取在点 2 A和 3 A之间的任何地方;如果直线l上依次有 1 A、 2 A、 3 A、 4 A、 5 A五个点,则相应点P的位置应取在点 3 A的位置. 【材料二】:数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为ab. E D C B A O F 图 图 A3A2 l A1A2 l A1 2 【问题一】:若已知直线l上依次有点 1 A、 2 A、 3 A、 25 A共 25 个点,要确定 一点P,使它到已知各点的距离之和最小,则点P的位置应取在 ; 若已知直线l上依次有点 1 A、 2 A、 3 A、 50 A共 50 个点,要确定一点P,使它 到已知各点的距离之和最小,则点P的位置应取在 . 【问题二】:现要求112397xxxxxx+ + +的最小值, 根据问题一的解答思路,可知当x值为 时,上式有最小值为 . 3. (本小题满分 10 分) 如图,一条笔直的公路上有A、B、C 三地,B、C 两地相距 150 千米,甲、乙两 辆汽车分别从B、C 两地同时出发,沿公路匀速相向而行,分别驶往C、B 两地甲、乙 两车到A 地的距离 1 y、 2 y(千米)与行驶时间 x(时)的关系如图所示 根据图象进行以下探究: 请在图中标出 A地的位置,并作简要的文字说明; 求图中M点的坐标,并解释该点的实际意义 在图中补全甲车的函数图象,求甲车到 A地的距离 1 y与行驶时间x的函数关系式 A地设有指挥中心, 指挥中心及两车都配有对讲机, 两部对讲机在 15 千米之内 (含 15 千米)时能够互相通话,求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间 y(千米) x(时) 乙 甲 图 CB 图 3 4(本小题满分 10 分) 已知抛物线 2 yaxbx=+(a0)的顶点在直线 1 1 2 yx= 上,且过点A(4,0) 求这个抛物线的解析式; 设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存 在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由. 设点C(1,3),请在抛物线的对称轴确定一点D,使ADCD的值最大,请直 接写出点D的坐标. 4 5(本小题满分 12 分) 定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连结它的两个非直角顶点的线段 叫做这个损矩形的直径. 如图 1,损矩形ABCD,ABC=ADC=90,则该损矩形的直径是线段 . 在线段AC上确定一点P, 使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的即损矩形的 四个顶点在同一个圆上四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明你的理由. 友情提醒:“尺规作图”不 要求写作法,但要保留作图痕迹 如图 2, , ABC中, ABC90, 以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF 的中心,连结BD,当BD平分ABC时,判断四边形ACEF为何种特殊的四边形?请说明 理由. 若此时AB3,BD4 2,求BC的长. A BC D 图 1 E F D C B A 图 2 5 6(本小题满分 12 分) 已知在梯形ABCD中,ABDC,且AB=40cm,AD=BC=20cm,ABC=120点P从点B 出发以 1cm/s 的速度沿着射线BC运动,点Q从点 C 出发以 2cm/s 的速度沿着线段CD运 动,当点Q运动到点D时,所有运动都停止. 设运动时间为 t 秒 如图 1,当点P在线段BC上且CPQDAQ时,求t的值; 在运动过程中,设APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关 系式,并写出自变量t的取值范围; 图1 Q P D C B A 备用图 A B C D 备用图 A B C D 6 参考答案参考答案 1(本小题满分 10 分) 解: 连结 OC, CD 切O 于点 C, OCD90. (1 分) D30,COD60. (2 分) OAOC,AACO30 . (4 分) CF直径 AB, CF34,CE2 3,(5 分) 在 RtOCE 中,OE2,OC4. (6 分) 2 BOC 6048 3603 S 扇形 , EOC 1 2 2 3 2 S 2 3.(8 分) EOCBOC 2 3SSS 阴影扇形 8 3 (10 分) 2. 先阅读下面材料,然后解答问题:(本小题满分 10 分) 问题一: 点 13 A处 (3 分) 点 25 A和 26 A之间的任何地方 (6 分) 问题二: 48 (8 分) 1225 (10 分) 3. (本小题满分 10 分) A 地位置如图所示 使点A满足AB AC23 . (2 分) 乙车的速度 150 275 千米/时, 90751.2=,M(1.2,0) (3 分) 所以点 M 表示乙车 1.2 小时到达 A 地(4 分) 甲车的函数图象如图所示 (5 分) 当01x时, 1 6060yx= +;(6 分) 当12.5x时, 1 6060yx=. (7 分) E D C B A O F 7 由题意得 606015 606015 x x + , 得 35 44 x; 759015 759015 x x + , 得 7 1 5 x. 5 1 4 x (9 分) 两 车 同 时 与 指 挥 中 心 通 话 的 时 间 为 51 1 44 =小 时. (10 分) 4(本小题满分 10 分) 抛物线过点(0,0)、(4,0), 抛物线的对称轴为直线 2x =. (1 分) 顶点在直线 1 1 2 yx= 上, 顶点坐标为(2,2). (3 分) 故设抛物线解析式为 2 (2)2ya x=, 过点(0,0), 1 2 a =,抛物线解析式为 2 1 2 2 yxx=(5 分) 当 APOB 时, 如图,BOAOAP45 ,过点 B 作 BHx 轴于 H,则 OHBH. 设点 B(x,x),故 2 1 2 2 xxx=,解得 x6 或 x0(舍去) (6 分) B(6,6). (7 分) 当 OPAB 时,同理设点 B(4x,x) 故 2 1 (4)2(4) 2 xxx=,解得 x6 或 x0(舍去),B(2,6) .(8 分) D(2,6). (10 分) H 8 5(本小题满分 12 分) 解:AC; (1 分) 作图如图; (3 分) 点 P 为 AC 中点,PAPC 1 2 AC. ABC=ADC=90,BPDP 1 2 AC,PAPBPCPD, (4 分) 点 A、B、C、D 在以 P 为圆心, 1 2 AC 为半径的同一个圆上. (5 分) 解:菱形 ACEF,ADC90AE2AD,EC2CD,四边形 ABCD 为损矩形, 由可知,点 A、B、C、D 在同一个圆上. (7 分) AM 平分BAD,ABDCBD45,ADCD=,ADCD, 四边形 ACEF 为正方形. (9 分) 点 BD 平分ABC,BD4 2,点 D 到 AB、BC 的距离 h 为 4, 1 2 2 ABD SAB hAB=6. 13 22 ABC SABBCBC=, 1 2 2 BDC SBChBC=, 2 ACDACEF 111 444 SSACBC2 正方形 (9), ABCADCABCD SSS 四边形 , 1 4 BC2(9) 3 2 BC62BC, BC5或BC3(舍去), BC5. (12 分) 6(本小题满分 12 分) 解:如图 1,分别过点作 AMCD 于 M,BNCD 于 N,BC20,C180 ABC60, 9 CN10DM,BN10 3,CD60. CPQDAQ, CPCQ DADQ = , 202 20602 tt t = , 1 10t =, 2 60t =(不合题意), t10. (5 分) 图 1 图 2 当点 P 在线段 BC 上时,如图 2,过 P 作 FGCD 于 G,交 AB 延长线于 F. PF 3 2 t,PG 3 (20) 2 t, 1 10 3 2 ABP SABPFt= , 13 (20) 22 CPQ SCQ PGtt= , ADQCPQABPABCD SSSSS= 梯形 5003 1 602 ) 10 3 2 t ( 3 (20) 2 tt 10 3t, 2 3 (20400) 2 tt+ . (020t ) (8 分) 当点 P 在线段 BC 的延长线上时,如图 3,过 P 作 PHAB 于 H,则 设 AP 与 CD 交于点 E, ECPC ABPB = , 40800t EC t = , QECQCE 2 240800tt t + . y310 800402 2 1 2 + t tt = t tt)40020(310 2 + . (2030t ) (12 分) 图1 Q P D C B A M N 图1 Q P D C B A F G 备用图 A B C D P Q E H 图 3
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