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1 方法专题:中点的妙用 联想是一种非常重要的数学品质。善于联想,才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到 中点时,你会产生哪些联想呢?学习完这个专题后,能给你带来一定的启示。 看到中点该想到什么? 1、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一”的性质; 2、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于斜边的一半”; 3、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理”; 4、两条线段相等,为全等提供条件(遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型”全 等三角形); 5、有中点时常构造垂直平分线; 6、有中点时,常会出现面积的一半(中线平分三角形的面积); 7、倍长中线 8、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理” 中点辅助线模型中点辅助线模型 一、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一”一、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一” 的性质的性质 1、如图 1 所示,在ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点 M 为 BC 中点,MNAC 于点 N,则 MN 等于( ) A 6 5 B 9 5 C12 5 D16 5 二、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于二、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于 斜边的一半”斜边的一半” 2、如图,在ABC 中,A=90,AC=AB,M、N 分别在 AC、 AB 上。 且 AN=BM.O 为斜边 BC 的中点.试判断OMN 的形状, 并说 明理由. 3、 如图, 正方形ABCD的边长为 2, 将长为 2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动 如 果点Q从点A出发, 沿图中所示方向按ADCBA滑动到点A为止, 同时点F从点B出 发,沿图中所示方向按BADCB滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段QF的中 点M所经过的路线围成的图形的面积为( ) A. 2 B. 4 C. D.1 N M B O C A DA BC 第8题图 Q F M 2 三、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理”三、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理” 4、(直接找线段的中点,应用中位线定理) 如图, 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 且 AC=BD, M、N 分别是 AB、CD 的中点,MN 分别交 BD、AC 于点 E、F.你能说出 OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗? 5、(利用等腰三角形的三线合一找中点,应用中位线定理) 如图所示,在三角形 ABC 中,AD 是三角形 ABCBAC 的角平 分线,BDAD,点 D 是垂足,点 E 是边 BC 的中点,如果 AB=6,AC=14,求 DE 的长 6、(利用平行四边形对角线的交点找中点,应用中位线定理) 如图所示,ABCD,BCAD ,DEBE ,DF=EF,甲从 B 出发, 沿着 BA、AD、DF 的方向运动,乙 B 出发,沿着 BC、CE、EF 的方向 运动,如果两人的速度是相同的,且同时从 B 出发,则谁先到达 F 点? 7、(综合使用斜边中线及中位线性质,证明相等关系问题) 如图,等腰梯形 ABCD 中,CDAB,对角线 AC、BD 相交于点 O, 60ACD=,点 S、P、Q 分别是 DO、AO、BC 的中点. 求证:SPQ 是等边三角形。 四、四、两条线段相等,为全等提供条件(两条线段相等,为全等提供条件(遇到两平行线所截得的线段的中点时,遇到两平行线所截得的线段的中点时, 常联想“八字型”全等三角形)常联想“八字型”全等三角形) 8、如图:梯形 ABCD 中,A=90,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3, E 为 AB 中点,求证:DEEC E D CB A 图2-1 F E D M N CB A P O AB C D 图6-1 S Q 3 9、如图甲,在正方形 ABCD 和正方形 CGEF(CGBC)中,点 B、C、G 在同一直线上,M 是 AE 的中点,(1)探究线段 MD、MF 的位置及数量关系,并证明; (2)将图甲中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转,使正方形 CGEF 的对角线 CE 恰好与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变。(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你 的猜想并加以证明 五、有中点时常构造垂直平分线五、有中点时常构造垂直平分线 10、 如图所示, 在ABC 中, AD 是 BC 边上中线, C=2B.AC=2 1 BC。 求证:ADC 为等边三角形。 六、六、有中点时,常会出现面积的一半(有中点时,常会出现面积的一半(中线中线平分三角形的面积)平分三角形的面积) 11、(1)探索:已知ABC的面积为a, 如图 1,延长ABC的边 BC 到点 D,使 CD=BC,连接 DA,若 ACD的面积为 1 S,则 1 S= (用含a的代数式表示) 如图2, 延长ABC的边BC到点D, 延长边CA到点E, 使CD=BC, AE=CA,连接 DE,若DEC的面积为 2 S,则 2 S= (用 含a的代数式表示) 在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD, FE,得到DEF (如图 3),若阴影部分的面积为 3 S, 3 S= (用含a的代数式表示) 发现:像上面那样,将ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到DEF(如图 4),此时, 我们称ABC向外扩展了一次。 可以发现, 扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的 倍 应用:如图 5,若ABC面积为 1,第一次操作:分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使得A1B=AB, B1C= BC,C1A=CA,顺次连结A1,B1,C1,得到A1B1C1. 第二次操作:分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2, B2,C2,使A2B1= A1B1,B2C1= B1C1,C2A1= C1A1,顺次连结A2,B2,C2,得到A2B2C2,第三次操作 ,按 此规律,要使得到的三角形的面积超过 2010,最少要 经过 次操作. A B C D F G E M 图乙 图甲 B A C E D F G M B D C A 4 12、如图所示,已知梯形 ABCD,ADBC,点 E 是 CD 的中点,连接 AE 、 BE, 求证:SABE= 2 1 S四边形ABCD。 13、如图,M 是ABCD 中 AB 边的中点。CM 交 BD 于点 E,则图 中阴影部分面积与ABCD 面积之比为 14、如图所示,点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,连 AF、 CE 交于点 G, 则 ABCD AGCD S S 矩形 四边形 等于: A、6 5 B、5 4 C、4 3 D、 3 2 七、七、倍长中线倍长中线 15、如图,ABC 中,D 为 BC 中点,AB=5,AD=6,AC=13。求证:ABAD 16、如图,点 D、E 三等分ABC 的 BC 边,求证:AB+ACAD+AE 17、如图,D 为线段 AB 的中点,在 AB 上取异于 D 的点 C,分别 以 AC、BC 为斜边在 AB 同侧作等腰直角三角形 ACE 与 BCF,连 结 DE、DF、EF, 求证:DEF 为等腰直角三角形。 八、八、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理”圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理” 18、半径是 5 cm 的圆中,圆心到 8 cm 长的弦的距离是_ D C B M A E 5 B A O DC 19、半径为cm5的圆 O 中有一点 P,OP=4,则过 P 的最短弦长_, 最长弦是_, 20、如图,在圆 O 中,AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦,ODAB,OEAC,垂足分别为 D、E, 若 AC=2cm,则圆 O 的半径为_cm。 21、如图,在O中,直径AB和弦CD的长分别为 10 cm 和 8 cm,则A、B两点到直线CD的距离之和 是_. 22、如图,O 的直径 AB 和弦 CD 相交于 E,若 AE2cm,BE6cm,CEA30 0, 求:CD 的长; 23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取 A、B、C 三根木柱, 使得 A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等,并测得 BC 长为 240 米,A 到 BC 的距离为 5 米,如图 5 所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。 A B C 6 倍长中线: 1(2011 平谷二模)24. 已知:如图,正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点, 过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F,连接 DF,G 为 DF 中点,连接 EG,CG (1)求证:EG=CG; (2)将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45,如图所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG问(1)中 的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由 (3)将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否 仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明) 遇到中点引发六联想遇到中点引发六联想 1、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一”的性质、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一”的性质 例 1、如图 1 所示,在ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点 M 为 BC 中 点,MNAC 于点 N,则 MN 等于【 】 A 6 5 B 9 5 C12 5 D16 5 分析:由 AB=AC=5,所以,三角形 ABC 是等腰三角形,且边 BC 是底边;由点 M 为 BC 中点,如果连 接 AM,则根据等腰三角形的三线合一,得到 AM 是底边 BC 上的高线,这样就能求出三角形 ABC 的面积, 而三角形 AMC 的面积是等腰三角形面积的一半,在三角形 AMC 中利用三角形的面积公式,求可以求得 MN 的长。 解: 连接 AM, AB=AC=5 , 点 M 为 BC 中点 AMBC, 在直角三角形 AMC 中,AC=5,CM= 2 1 BC=3, AM= 2222 35 =CMAC=4, S ABC= 2 1 BCAM= 2 1 64=12 , S ACM= 2 1 S ABC =6; 6= 2 1 ACMN, MN= 5 12 . 所以,选择 C。 2、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于斜边的一半”、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于斜边的一半” 例 2、在三角形 ABC 中,AD 是三角形的高,点 D 是垂足,点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点, 求证:四边形 EFGD 是等腰梯形。 7 分析:由点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点,根据三角形中位线定理,知道 FGBC,FEAC, FE= 2 1 AC,由直角三角形 ADC,DG 是斜边上的中线,因此,DG= 2 1 AC,所以,EF=DG,这样,我们就可以 说明梯形 EFGD 是等腰梯形了。 证明: 点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点, FGBC , FEAC,FE= 2 1 AC, AD 是三角形的高, ADC 是直
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