,第七章 应力状态与强度理论,材料力学,71 应力状态的概念,74,75 三向应力状态研究应力圆法,76 广义胡克定律,77 复杂应力状态下的变形比能,78 强度理论,72 二向应力、三向应力状态的实例,平面应力状态分析图解法,73 平面应力状态分析解析法,应力状态与强度理论,7 应力状态的概念,应力状态与强度理论,一、引言,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,四、普遍状态下的应力表示,三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、每个面上，应力均布； b、平行面上，应力相同。,二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。,x,y,z,s,x,sz,s,y,应力状态与强度理论,应力状态与强度理论,五、剪应力互等定理:,x,y,z,s,x,sz,s,y,六、原始单元体（已知单元体）：,例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,应力状态与强度理论,A,A,课堂练习 用单元体表示圆轴受扭时，轴表面任一点的应力状态。 用单元体表示矩形截面梁横力弯曲时，梁顶、梁底及其它各点的应力状态。,七、主平面、主应力：,主平面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。,主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,应力状态与强度理论,s1,s2,s3,x,y,z,sx,sy,sz,三个主平面一定互相垂直。,单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。,二向应力状态（Plane State of Stress）： 二个主应力不为零的应力状态。（平面应力状态）,应力状态与强度理论,三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。,72 二向和三向应力状态的实例,应力状态与强度理论,s,s,p,O,D,A,B,y,s,s,x,D,1、纵向应力,y,s,s,z,O,应力状态与强度理论,2、环向应力：,外表面,内表面,三向应力状态的实例：在滚珠轴承中，轴承外圈在与滚珠 接触点处的应力状态为三向应力状态，,应力状态与强度理论,73 二向应力状态分析解析法,应力状态与强度理论,sx,txy,sy,sx,sy,正应力以拉应力为正，压应力为负； 剪应力 对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负； 由 轴逆时针转过 角为正，反之为负。,设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：,一、任意斜截面上的应力,应力状态与强度理论,规定：,考虑切应力互等和三角变换，得：,同理：,应力状态与强度理论,应力状态与强度理论,例1、求图示单元体斜截面上的应力。,解：,解：,应力状态与强度理论,二、主应力、主平面,由上式求出相差 的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面， 分别作用着最大、最小正应力。,主平面方位的确定：约定,则两个角度,中，锐角确定,作用的平面。,，,应力状态与强度理论,二、主应力、主平面,由上式求出相差 的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面， 分别作用着最大、最小正应力。,主平面方位的确定：约定,则两个角度,中，锐角确定,作用的平面。,，,应力状态与强度理论,例2、求图示单元体的主应力及主平面，在单元体上画出主 平面和主应力。,应力状态与强度理论,解：,应力状态与强度理论,例3 分析圆轴扭转时的应力状态。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,x,铸铁圆轴扭转破坏现象分析,应力状态与强度理论,x,2,2,2,x y,y,x,min,max,t,s,s,t,t,+,-,=,）,（,应力状态与强度理论,三、最大切应力,则,即最大、最小切应力作用面与主平面的夹角为450。,四、两个互相垂直截面上应力的关系,应力状态与强度理论,互相垂直的两个截面上的正应力之和为一值。,即切应力互等定理。,74 平面应力状态分析图解法,对上述方程消去参数（2），得：,一、应力圆（ Stress Circle）,应力状态与强度理论,将上式改写成：,上式中 皆为已知量，故此方程是以 和 为变量的圆周方程，这一圆称为应力圆（或莫尔圆），由 德国工程师Otto Mohr提出。 由公式可见，在 直角坐标系中，应力圆具有 以下特征： （1）圆心坐标为 圆心必在 坐标轴上 （2）半径为,应力状态与强度理论,（3）应力圆圆周上任一点的纵、横坐标，分别代表 单元体中某一相应斜截面上的 和 ，因此应力圆圆 周上所有各点的坐标就表达了一点的应力状态。,应力状态与强度理论,建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,在坐标系内确定点A( x，xy)和点B(y，yx),AB与s 轴的交点C便是圆心。,以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆；,O,s,t,C,A(sx ,txy),B(sy ,tyx),2a,D( sa , ta),应力状态与强度理论,s,t,C,B(sy ,tyx),2a,D( sa , ta),应力状态与强度理论,A(sx ,txy),三、单元体与应力圆的对应关系, 转向相同单元体上的截 面旋转的方向与应力圆圆周上点 的旋转方向相同。, 角度二倍单元体上的截面旋转 角，则应力圆圆周上的点旋转 角。,应力状态与强度理论, 点面对应单元体上的截面与应力圆上的点一一对应。,四、在应力圆上标出极值应力,O,s,t,A(sx ,txy),B(sy ,tyx),应力状态与强度理论,例4 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：应力坐标系如图,AB的垂直平分线与s轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,s1,s2,在坐标系内画出点,应力状态与强度理论,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,应力状态与强度理论,解法2解析法：分析建立坐标系如图,应力状态与强度理论,由,已知,求出,课堂练习： 1、画出单向拉伸、单向压缩应力状态的应力圆。,应力状态与强度理论,2、画出纯剪切应力状态的应力圆。,应力状态与强度理论,75 三向应力状态研究应力圆法,s2,s1,1、三向应力状态,应力状态与强度理论,2、三向应力状态分析,弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b,整个单元体内的最大切应力为：,应力状态与强度理论,76 广义胡克定律,一、单向拉伸应力状态下，应力-应变关系（胡克定律）,二、纯剪切应力状态下，应力-应变关系,应力状态与强度理论,三、复杂应力状态下的应力 - 应变关系,根据叠加原理,得:,sz,sy,sx,应力状态与强度理论,同理,上式称为广义胡克定律,主应力 - 主应变关系,四、平面应力状态下的应力-应变关系:,应力状态与强度理论,sx,sy,五、体积应变与应力分量间的关系,体积应变：,体积应变与应力分量间的关系:,应力状态与强度理论,（略去高阶微量）,例5 已知一受力构件自由表面上某一点处在表面内的主应变分别为：1=24010-6， 3=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处为平面应力状态,应力状态与强度理论,77 复杂应力状态下的应变能密度,应力状态与强度理论,应力状态与强度理论,图 a,图 b,图 c,m,m,-m,3, 体积改变能密度, 畸变能密度,因为图C的体积应变,应力状态与强度理论,则畸变能密度：,式中：,例6 证明三个弹性常数 间的关系。,纯剪切单元体的应变能密度为：,纯剪切单元体应变能密度用主应力表示为：,应力状态与强度理论,一、引子：,78 强度理论,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,应力状态与强度理论,二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。,材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。 单向应力状态的强度条件是以实验为基础建立的。例轴向拉伸的强度条件： ， 。,复杂应力状态下的强度条件不能靠实验来建立强度条件的原因：,（1）实验手段的困难，,（2）工作量的繁重。,应力状态与强度理论,三、四个常用强度理论,1、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到材料单向拉伸的强度极限时，构件就断了。,破坏判据：,强度准则：,实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,伽利略播下了第一强度理论的种子。,应力状态与强度理论,2、最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到材料单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。,破坏判据：,强度准则：,实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。,马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽。,应力状态与强度理论,3、最大切应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就屈服了。,破坏判据：,实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,强度准则：,杜奎特（C.Duguet)提出了最大切应力理论。,应力状态与强度理论,4、畸变能密度理论（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由畸变能密度引起的。当畸变能密度达到单向拉伸试验屈服时的畸变能密度时，构件就屈服了。,破坏判据：,强度准则：,实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,麦克斯威尔最早提出了畸变能密度理论。,应力状态与强度理论,应力状态与强度理论,综合以上各式，可将四个强度理论的强度条件写成统一的形式：,相当应力。,四个强度理论的相当应力：,四、强度理论的应用,（一）强度计算的步骤：,1、外力分析：确定全部的外力。,2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。,3、应力分析：画危险截面应力分布图，确定危险点并画 出其单元体，求主应力。,4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然