第五节 可降阶的二阶微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,一、 型的微分方程,解法,特点 右端仅含有自变量 x , 只要连续积分 二次即得通解 .,例 1,解,逐次积分的解法可用于解高阶微分方程,只要连续积分 n 次即得含 n 个独立任意常数的通解 .,解,解 据题意有,对方程两边积分, 得,例3 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动 , 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .在开始时 刻t = 0 时F(0) = F0 , 随着时间的增大 , 此力 F 均匀 地减小 , 直到 t = T 时 F(T) = 0 .若开始时质点在原点 , 且初速度为0 , 求质点的运动规律.,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,二、 型的微分方程,特点：,解法：,代入原方程, 化为关于变量 x , P 的一阶微分方程,关于 p(x) 的一阶方程,设其通解为,即,再次积分, 得原方程的通解,解,代入原方程,得,解线性方程, 得,两端积分,得原方程通解为,例 1,解,代入原方程, 得,解线性方程, 得,两端积分,得原方程通解为,例2,解,代入原方程,得,解线性方程, 得,例 3,两端积分 , 得原方程通解为,故所求原方程的解为:,三、 型的微分方程,特点：,解法：,代入原方程, 化为关于 p(y) 的一阶微分方程,设其通解为,即,分离变量后积分, 得原方程的通解,解,代入原方程得,故原方程通解为,例 1,即,解2,从而通解为,例 1,解3,原方程变为,两边积分,得,原方程通解为,解,代入原方程得,故曲线方程为,例3,解,令,代入方程得,积分得,即,解,例4,解初值问题,令,代入方程得,积分得,即,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,四、小结,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,思考与练习,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如：,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.,练 习 题,练习题答案,