2013届高三六校第一次联考理科数学 试题 第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合是函数的定义域，是函数的定义域，则等于( ) A B C D 2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3下列命题正确的是（ ）A B C是的充分不必要条件 D若,则4已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，则实数的值为（ ）A B C D5经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为 （ ） A B C. D6. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A65 B64C63 D62 7已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（ ） A B. C. D. 8. 在约束条件时，目标函数的最大值的变化范围是（）6，157，15 6，87，8第二部分 非选择题（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9()8的展开式中的系数为，则的值为 ；10.下面是一个算法的程序框图，当输入的值为5时，则其输出的结果是 ；输出开始结束11. 若 ，则实数a的值是_.12.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .13已知函数满足对任意成立，则a的取值范围是 .（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin(+)=2被圆=4截得的弦长为 15（几何证明选讲选做题）如图4，是圆外一点，过引圆的两条割线、，则_ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分） 已知函数(R).(1) 求的最小正周期和最大值；(2) 若为锐角，且，求的值. 17（本小题满分12分）设函数（），已知数列是公差为2的等差数列，且.（）求数列的通项公式；（）当时，求证：.18(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与期望.下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 (参考公式：，其中)19（本小题满分14分）正视图侧视图俯视图一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论；（）在（）的情形下,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.20（本小题满分14分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，求的最大值21.（本小题满分14分）已知函数，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.（1）求的值； （2）已知实数tR，求函数的最小值；（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.2013届高三六校第一次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共10小题，每小题5分，满分50分 题号12345678答案ADCBABCD二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题91或-1 102 11 12. 13. 14 152三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(1) 解: 2分 3分 . 4分 的最小正周期为, 最大值为. 6分(2) 解:, . 7分 . 8分 为锐角，即, . . 10分 . 12分17（本小题满分12分）解：（） -6分（）当时， -12分18(本小题满分14分)解：(1) 列联表补充如下：-3分喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050（2）-6分在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.-7分（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.-9分其概率分别为, -12分故的分布列为:ABCDC1图1-13分的期望值为: -14分19（本小题满分14分）解：（）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1=6，故所求体积是 -4分 （）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示. -6分 证明:面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的ABCDD1A1B1C1图2正方形，于是 故所拼图形成立.-8分ABCDD1A1B1C1EHxyzG图3（）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G， 连结GA，在底面ABC内作BHAG，垂足为H，连结HB1，则B1HAG，故B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角. -10分 在RtABG中，则，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.-14分 方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）. 设向量n=（x，y，z），满足n，n，于是，解得. -12分 取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为. -14分20（本小题满分14分）（1）解：设，则， -2分即，即，所以动点的轨迹的方程 -4分（2）解：设圆的圆心坐标为，则 圆的半径为 圆的方程为令，则，整理得， 由、解得， -6分不妨设，-8分 ， 当时，由得， 当且仅当时，等号成立-12分当时，由得， -13分故当时，的最大值为 -14分21. （本小题满分14分）解: 图象与轴异于原点的交点，图象与轴的交点，由题意可得，即，