第8章 相量法,电气工程及其自动化教研室,本章重点,电气工程及其自动化教研室,2. 正弦量的相量表示,3. 电路定理的相量形式,重点：,1. 正弦量的表示、相位差,电气工程及其自动化教研室,1. 复数的表示形式,代数式,指数式,极坐标式,三角函数式,8.1 复数,电气工程及其自动化教研室,则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2),若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2,图解法,2. 复数运算,加减运算 采用代数式,电气工程及其自动化教研室,乘除运算 采用极坐标式,则:,模相乘 角相加,模相除 角相减,电气工程及其自动化教研室,例1,解,例2,解,电气工程及其自动化教研室,旋转因子,复数 ejq =cosq +jsinq =1q,F ejq,旋转因子,电气工程及其自动化教研室,+j, j, -1 都可以看成旋转因子。,特殊旋转因子,注意,电气工程及其自动化教研室,8.2 正弦量,1. 正弦量,瞬时值表达式,i(t)=Imcos(w t+y),周期T 和频率f,频率f ：每秒重复变化的次数。,周期T ：重复变化一次所需的时间。,单位：赫(兹)Hz,单位：秒s,正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT ),波形,电气工程及其自动化教研室,正弦电流电路,激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。,正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。,研究正弦电路的意义,正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；,正弦信号容易产生、传送和使用。,优 点,电气工程及其自动化教研室,正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。,对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。,结论,电气工程及其自动化教研室,幅值 (振幅、最大值)Im,(2) 角频率,2. 正弦量的三要素,(3) 初相位y,单位： rad/s ，弧度/秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。,反映正弦量的计时起点，常用角度表示。,i(t)=Imcos(w t+y),电气工程及其自动化教研室,同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,一般规定：| | 。,注意,电气工程及其自动化教研室,例,已知正弦电流波形如图，103rad/s， 1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1,解,由于最大值发生在计时起点右侧,电气工程及其自动化教研室,3. 同频率正弦量的相位差,设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i),相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i,规定： | | (180),等于初相位之差,电气工程及其自动化教研室,j 0， u 超前i j 角，或i 滞后 u 角, (u 比 i 先到达最大值)；,j 0， i 超前 u j 角，或u 滞后 i j 角, i 比 u 先到达最大值）。,电气工程及其自动化教研室,j 0， 同相,j = (180o ) ，反相,特殊相位关系,= p/2：u 领先 i p/2,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,电气工程及其自动化教研室,4. 周期性电流、电压的有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。,周期电流、电压有效值定义,物理意义,电气工程及其自动化教研室,均方根值,定义电压有效值：,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos( t+ ),电气工程及其自动化教研室,电气工程及其自动化教研室,同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V 其最大值为 Um311V， Um537V,注意,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,电气工程及其自动化教研室,测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。,区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,电气工程及其自动化教研室,8.3 相量法的基础,1. 问题的提出,电路方程是微分方程：,两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：,电气工程及其自动化教研室,同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用,变换的思想,i3,结论,电气工程及其自动化教研室,造一个复函数,对 F(t) 取实部,任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。,无物理意义,是一个正弦量 有物理意义,3. 正弦量的相量表示,结论,电气工程及其自动化教研室,F(t) 包含了三要素：I、 、， 复常数包含了两个要素：I , 。,F(t) 还可以写成,正弦量对应的相量,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位,注意,电气工程及其自动化教研室,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,已知,例1,试用相量表示 i, u。,解,例2,试写出电流的瞬时值表达式。,解,电气工程及其自动化教研室,在复平面上用向量表示相量的图,相量图,电气工程及其自动化教研室,4. 相量法的应用,同频率正弦量的加减,相量关系为：,结论,同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。,电气工程及其自动化教研室,i1 i2 = i3,例,电气工程及其自动化教研室,借助相量图计算,首尾相接,电气工程及其自动化教研室,正弦量的微分、积分运算,微分运算,积分运算,电气工程及其自动化教研室,例,用相量运算：,把时域问题变为复数问题；,把微积分方程的运算变为复数方程运算；,可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。,相量法的优点,电气工程及其自动化教研室,相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。,相量法用来分析正弦稳态电路。,注意,不适用,电气工程及其自动化教研室,8.4 电路定律的相量形式,1. 电阻元件VCR的相量形式,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系,相位关系,相量关系：,电气工程及其自动化教研室,瞬时功率,波形图及相量图,瞬时功率以2交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率,同相位,电气工程及其自动化教研室,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,2. 电感元件VCR的相量形式,电气工程及其自动化教研室,感抗的性质,表示限制电流的能力；,感抗和频率成正比。,相量表达式,XL=L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆) BL=-1/ L =-1/2fL， 称为感纳，单位为 S,感抗和感纳,电气工程及其自动化教研室,功率,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电感只储能不耗能。,波形图及相量图,电压超前电流900,电气工程及其自动化教研室,时域形式：,相量模型,相量关系：,3. 电容元件VCR的相量形式,相量形式：,电气工程及其自动化教研室,XC=-1/w C， 称为容抗，单位为 (欧姆) B C = w C， 称为容纳，单位为 S,容抗和频率成反比 0， |XC| 直流开路(隔直) w ，|XC|0 高频短路,容抗与容纳,相量表达式,电气工程及其自动化教研室,功率,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。,波形图及相量图,电流超前电压900,电气工程及其自动化教研室,4. 基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,表明,电气工程及其自动化教研室,例1,试判断下列表达式的正、误。,L,电气工程及其自动化教研室,例2,已知电流表读数：,解,电气工程及其自动化教研室,例3,解,电气工程及其自动化教研室,电气工程及其自动化教研室,例4,解,电气工程及其自动化教研室,例5,解,电气工程及其自动化教研室,例6,图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。,解法1,令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部,电气工程及其自动化教研室,画相量图计算,解法2,电气工程及其自动化教研室,图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后于电源电压/3，问R、C应如何选择。,解1,画相量图计算,解2,例7,