.,第二节 二重积分的计算,一、利用直角坐标系计算二重积分,三、利用极坐标系计算二重积分,二、利用积分域和被积函数的对称性 计算二重积分,.,先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.,如果积分区域 D 可表示为：,其中函数 、 在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分1、x型区域,则 D 称为 x型 区域 .,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,如果积分区域 D 可表示为：,其中函数 、 在区间 上连续.,2、y型区域,则 D 称为 y型 区域 .,x型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1) 如果积分区域 D 可表示为 x型 区域又可表示为 y型 区域 ，且 f(x,y)在D 上连续，则有：,3、其他情形,采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构.,2) 如果积分区域 D 不是 x型 区域也不是 y型 区域 ，可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性， 在各个标准区域上的积分之和就是D 上的二重积分.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,.,例1,解,求曲线的交点：,画出草图并将区域写成不等式形式：,计算：,.,计算二重积分的几点说明：,1) 化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域 D 的图形.,2) 第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于上限.,3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.,解,如图,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,解,.,.,.,例11,解,先去掉绝对值符号，如图,.,二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分,.,.,.,.,A,.,.,.,三、利用极坐标系计算二重积分,.,二重积分化为二次积分的公式（）,1、极点O在D的外部,区域特征如图,.,区域特征如图,.,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,2、极点O在D的边界上,.,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,3、极点O在D的内部,.,.,.,法二:,积分区域关于 x 轴对称,.,解,.,解,.,解,.,.,.,解,.,解,.,解,.,.,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,四、小结,y型,x型,（在积分中注意使用对称性）,.,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,思考题,思考题解答,.,思考题,.,思考题解答,练 习 题,练习题答案,.,练 习 题,.,.,.,练习题答案,.,