第二节 线性规划的图解法,对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以用图解法来求解。 图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。,例1,一、解的概念,可行解 把满足约束条件的一组决策变量值x1，x2，xn称为该线性规划问题的可行解。 可行解集/可行解域 满足约束条件的可行解的全体称为可行解集。 在平面上，所有可行解的点的集合称为可行解域。 最优解 在可行解集中，使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。,图解法的一般步骤,1、建立数学模型。 2、绘制约束条件不等式图，做出可行解集对应的可行解域。 3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。,1、建立数学模型,2、绘制可行解域,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,可行解域为阴影部分OABC,3、 画目标函数图,令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域最先相交的点，这点即为问题的最优解。,3、画目标函数图,x1,x2,4,2,6,3,5,1,O,A,B,C,4、判断解的形式，得出结论。,本题有唯一的最优解。 解法： 最优解是由两根直线所确定的最后的交点； 解由此两根直线相应方程所组成的方程组，得到问题的精确最优解； 将最优解代入目标函数，得最优值。,4、求出最优解。,将最优解代入目标函数，得最优值：,例2,解、绘制可行解域,x1,x2,4,2,D,4,6,2,x10,x20,A,B,C,可行解域为开放区域x2ABCDx1,解、画目标函数等值线,x1,x2,4,2,D,4,6,2,x10,x20,A,B,C,C点为最优解,解、求出最优解。,将最优解代入目标函数，得最优值：,例3,将例2中目标函数改为 maxF=2x1+3x2， 约束条件不变。,解、可行解域不变,x1,x2,4,2,D,4,6,2,x10,x20,A,B,C,解,该问题有可行解但最优解无界， 即无界解。,例4,解、绘制可行解域,x1,x2,2,6,5,1,B,C,D,A,O,可行解域为阴影部分OABCD,解、移动目标函数等值线,x1,x2,2,6,5,1,B,C,D,A,O,解、目标函数等值线最终与可行解域边线重合,x1,x2,2,6,5,1,B,C,D,A,O,解,最优解为BC线段上所有点 （无穷多个最优解） 最优值为16。,例5,解,x1,x2,解得： 无可行解，无最优解。,思考题与练习题,