24.2.2.直线与圆的位置关系 -切线的性质和判定,复 习,1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？,相交、相切、相离,想一想,过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？,O,r,l,A,切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。, OA是O半径，OAl于A l是O的切线。,几何符号表达：,判 断,1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）,利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。,应用1,已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是O的切线。,O,B,A,C,分析：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只要证明 ABOC即可。,证明：连结OC(如图)。 OAOB,CACB, OC是等腰三角形底边AB上 的中线。 ABOC。 OC是O的半径 AB是O的切线。,应用2,已知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D,以O为圆心，OD为半径作O。 求证：O与AC相切。,O,A,B,C,D,证明：过O作OEAC于E。 AO平分BAC，ODAB OEOD OD是O的半径 OE 是O的半径 AC是O的切线。,小 结,例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。,.,O,A,L,思考,反过来,如果L是O的切线,切点为A,那么半径OA与直线L的位置关系?,一定垂直,切线的性质定理:,圆的切线垂直于过切点的半径,思考,B,练习：如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D. 求证:AC平分DAB,O,1,2,3,D,证明:,连结OC CD是O的切线OCCD 又CDADOCAD 1=3 又OA=OC 2=3 1=2 即AC平分DAB,如图,AB为O的直径, C为O上一点,ADCD,AC平分DAB. 求证: CD是O的切线,变式1,变式2,如图,AB为O的直径, AC平分DAB ,CD是O的切线. 求证: ADCD,3,2,1,B,O,A,C,D,变式导练,已知:如图, AB是O的直径,O过BE的中点C,CDAE. 求证:DC是O的切线.,证明:,连结AC,OC AB为O的直径ACBE 又BC=ECAE=AB 1=2 又OA=OC2=31=3 AEOC CDAE DCOC DC是O的切线.,E,两图比较,能力提高,已知:AB是O的直径, O过AC的中点,DEBC,垂足为E. 这些条件你能推出哪些正确的结论?(所连辅助线不要出现在结论中.不写推理过程,写出3个结论即可),当ABC为直角时,其他条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些正确的结论?(要求将图画出,写出4个结论即可),E,D,C,O,B,A,O,证明：连结OP。 AB=AC,B=C。 OB=OP，B=OPB， OBP=C。 OPAC。 PEAC， PEOP。 PE为0的切线。,如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交边BC于P， PEAC于E。 求证:PE是O的切线。,练 习,O,A,B,C,E,P,练 习,如图，AOB中，OAOB10，AOB120，以O为圆心， 5为半径的O与OA、OB相交。 求证：AB是O的切线。,O,B,A,课堂小结,1. 判定切线的方法有哪些？,直线l,与圆有唯一公共点,与圆心的距离等于圆的半径,经过半径外端且垂直这条半径,l是圆的切线,2. 常用的添辅助线方法？,直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径， 再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） 直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线 段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）,l是圆的切线,l是圆的切线,3.圆的切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。,