第三章,杆件的扭转理论,3-1 直杆的扭转,基本概念,（1）何谓直杆扭转,直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向相反的力矩（扭矩）作用，则发生扭转。,（2）,一般直杆扭转变形的特点,截面发生扭转变形,截面有可能发生翘曲,（3）,直杆扭转划分,圆断面杆的扭转、非圆断面杆的扭转 薄壁杆件扭转 开口、闭口薄壁杆件扭转,（2）按杆件断面形状划分为：,（1）按翘曲变形是否受约束划分： 自由扭转与非自由扭转,自由扭转 （纯扭转）： 非自由扭转 （约束扭转）：,如果一等断面杆仅在两端受到扭矩作用，并不受其他任何约束，杆在扭转时可以自由变形。翘曲一致。,如果杆在受到扭矩作用后，由于支座或其他约束存在使它在扭转时不能自由变形 。翘曲不一致,dx,圆断面杆的自由扭转,研究杆件的扭转问题就是在给定的扭矩下求出杆件的扭转应力与变形（扭角）。满足刚周边假定条件。如下图：最简单的等断面圆杆,x,l,非圆断面的自由扭转,如果杆件断面不是圆形，则扭转变形特征 有所不同，其主要差别在扭转时段面不在保持 平面而发生“翘曲”(warping),翘曲问题,与圆截面自由扭转的最大区别：,在自由扭转条件下，因杆扭转不受阻碍，所以各段面 的翘曲都相同，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且仍为直线。,但翘曲是自由的,应力分布不同,如图：狭长矩形断面（矩形段面长边或高度h与短边或高度t之比为大于5）的扭率：,称为断面的“扭转惯性矩”,变形,断面在长边周界中点的剪应力最大，为：,狭长矩形断面的变形及应力分布,尺度比：,应力分布及最大剪应力,3-2 薄壁杆件的自由扭转,(a),(e),(d),(c),(b),薄壁杆件的定义,薄壁杆件的划分：,开口薄壁杆件,闭口薄壁杆件,本章学习的目的：,求解位移及应力,开口薄壁杆件的自由扭转,一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自由扭转。在自由扭转时，杆件断面不能保持平面而发生翘曲。如图（a）：工字形梁扭转时的变形情况。,可见梁的上下翼板相互转动了一个角度（即扭角），梁的断面不再为平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。,薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，但在小变形情况下可以假定杆件扭转后在其原来平面中的投影形状与原断面形状相同，即 “刚周边假定”。,(b),变形的基本假定条件,刚周边假定：,假定条件对分析产生的影响：,在计算杆件断面在其平面内的扭转位移时可把断面当作一 刚体一样发生平面运动，断面在扭转时各组成部分的扭角相同。,，,整个工字形断面的扭矩满足力的平衡条件,截面的力平衡条件,截面的变形条件,工字形断面在扭转后的变形情况:,截面的力平衡条件,式中：,，,，,；,变形条件,每个狭长矩形承担的扭矩,提示: 截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进行分配， 刚度较大的矩形，承受较大的扭矩。,截面的总扭转惯性矩,推广到一般（n个狭长矩形）：考虑到实际中薄壁型钢断面的各组成部分在连接处通过圆角连成一体，因此刚度略为增加，所以惯性矩一般公式为：,hi与ti分别为第个狭长矩形断面的长边与短边的长度，系数 与型钢断面形状有关,(3-9),截面上的应力分布：,截面上最大应力出现在厚度最大的矩形的长边中点处。,右图为工字形断面在自由扭转时的 剪应力分布情况,其分布规律为：,沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线 处为零。,任意曲线形状的开口薄壁断面亦可以看作 是狭长矩形断面组合的结果（图a），故其扭转惯性矩亦可用公式（3-9）推广得到：,式中s为沿薄壁断面中心线的坐标;s1为薄壁断面的长度。,开口薄壁断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比例,因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，即开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄壁增加，抗扭能力大大增加。,：,t,s1,杆件在扭转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。 用 表示。,因为壁厚很小，故可认为剪应力沿壁厚不变，,闭口薄壁杆件的自由扭转,其主要特征是：,如图：一等断面的闭口薄壁杆件，两端受到扭矩 M t作用而发生扭转。X轴为型心轴。,薄壁杆件自由扭转时，断面上任意点的剪应力与壁厚的乘积始终不变。,由平衡条件：,现杆件中取出 的一微块（如图），在微块的断面上有剪流,及,剪力流等于常数,杆件断面中剪力流对断面上任一点的力矩应等于扭矩，现在把剪流对断面与x轴的交点（左图中O点）取矩，则有：,式中r为剪流f到O 点的垂直距离；rds为断面上 ds长度与O点之间所形成的三角形面积的两倍； rds沿断面周长的积分则为断面中心线所围成的面积的两倍，我们用2A表示之，即,这就是闭口薄壁杆件自由扭转时的剪流计算公式，称为 布雷特（Bredt）公式。,于是得,或,A,(3-12),(3-13),以下用材料力学中的“单位力法”推导联系扭角与剪应力的“ 环流方程” 将两端受扭矩作用的闭口薄壁杆件叫做第一状态，如图 （a） ；同样这根杆两端受单位扭矩作用时叫做第二状态，如图（b）。,为了计算应变能，在杆中考虑 的微块，,l,ds,(a),(b),于是第二状态外力（单位扭矩）对第一状态变形（扭角）的功,则有应变能为 :,dx,=第二状态的内力对第一状态应变的功即应变能。,为第二状态中的剪应力 ; 为第一状态杆中的剪切角,所以：,于是得：,或,此式为环流方程式。将（3-13）式代入后，即得闭口薄壁自由扭转的扭率为：,(3-14),闭口薄壁自由扭转的扭率为：,闭口薄壁自由扭转的剪应力：,环流方程式,闭口薄壁断面的扭转惯性矩,(3-15),(3-16),对于宽为a ，高为b，厚度为t 的盒形薄壁断面,由（3-16）式得：,a,(3-17),对于直径为D1，壁厚为t的圆管，由（3-16）得,左图为双闭室断面。设此双闭室断面的薄壁杆件在扭矩Mt作用下发生自由扭转，此时，断面中每一段的剪流 常数的结论仍然成立。下面计算这个剪力流大小。,式中 为剪流到点O的垂直距离；积分号下面字母为积分的路线。 上式可改写为：,A,F,B,C,E,D,可得：,(3-18),A,F,B,C,D,E,补充方程式： 变形的基本条件 扭率相等,此方程有两个未知数和，所以不能求解，为此列补充方程式。,A,F,B,C,D,E,令 ， 可得：,联立方程（3-18）和（3-19），即可求出 ， 和扭率。,式中 为CDEF段的壁厚,同理对第 区有：,式中 为FABC段的壁厚； 为CF 段的壁厚。,(3-19),现具体计算 一简单的例子。如图所示的等厚度双闭室断面，这时公式（3-18）将为：,或,（3-20）,公式（3-19）将为：,或,（3-21）,公式（3-21）给出 ，代入（3-20）中，即得：,因而，断面中面壁上的剪流为 。,此杆扭率为：,这个扭转惯性矩与宽为2a，高为a，厚度为t的单闭室断面得扭转惯性矩相同，这是因为所论的双闭室断面的中间壁上没有剪应力，因此中间壁在扭转中不起作用，所以其扭转惯性矩就和上述的单闭室断面一样。,此双壁室断面的扭转惯性矩为：,薄壁杆断面有两个及两个以上以上的闭口形成，求出自由扭转时的剪力流、扭率、断面扭转惯性矩 1、建立断面中每一室的剪流的力矩之和等于扭矩的方程式； 2、建立各室扭率相同的方程式. 3、联立求解剪流 和扭率 。 4、在最后得出了扭率之后，将扭率写成的式子，式中 就是所论断面的扭转惯性矩。,A=BH-bd,由于在同样的外形及壁厚情况下闭口断面比开口断面有更大的抗扭刚度，所以如果杆件断面既有闭口又有开口部分，则在计算扭转惯性矩时常可以不计开口部分的面积。单壁的集装箱断面,如图（a）就是这种例子。为使弦侧在扭转中发挥作用，目前有将集装箱船做成双壁的，如图（b）。,b,d,B,tb,ts,ti,te,td,H,如图（b），断面成了多闭式的，其抗扭刚度提高很多。计算时可将其中的纵绗等略去而近似当作一闭室来处理。,(a),(b),抗扭弯矩为：,式中,(3-22),3.1 计算图示薄壁断面的扭转惯性矩（单位：mm）,a）,b）,3.2 设有两根同样长度的直杆，两端手扭矩发生自由扭转，一杆为闭口断面，另一杆为开口断面，如下图。一直a=40cm，t=2cm，此两杆在相同的扭矩作用下扭角相差多少倍？,3.3 比较正方形管与圆管截面的杆件（如下图），若二者的壁厚及断面面积均相同，在受到同样大小的扭矩作用时，哪一个杆件的扭转剪应力大，大多少倍？,3.5 计算下图所示三闭室薄壁断面的扭转惯性矩，假定壁厚t为常数。,解：假定见刘方向为图示方向，各点编号如图,A,C,B,D,H,E,F,G,1、建立断面中每一室的剪流的力矩之和等于扭矩的方程式,（1）,2、建立各（、）室扭率相同的方程式,（2）,3、(1)(2)联立求解,4、求扭率及断面的扭转惯性矩,A,C,B,H,G,F,E,D,（1）,解：,1、,2、,（2）,利用结构对称性,3、(1)(2)联立求解,4、求扭率及断面的扭转惯性矩,2-8习题,