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第1章 事件与概率1.6 乘法公式1. 。解:由由乘法公式,得由加法公式,得2. 为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时,系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下,系统II仍有效的概率为0.85,求(1)两种报警系统I和II都有效的概率;(2)系统II失灵而系统I有效的概率;(3)在系统II失灵的条件下,系统I仍有效的概率。解:令 “系统()有效” , “系统()有效”,则。(1) (2)(3)3100株玉米,已知病株率为10%,每次检查时从中任选一株,检查后做上标记不再检查,求第三次才取得健康株的概率。解 设,依题意得,因此,第三次才取到健康株的概率为.4元青花(瓷器)以其造型独特,胎体厚重而享有盛誉,假设一件瓷器在过去未被打破,在新的一年中被打破的概率是0.03. 延祐元年时的瓷器保存到现在(约700年)的概率为多少?解 用则至今没有被打破的概率是注:这个概率是如此之小,可见一件瓷器保存至今是非常珍贵的。5袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,求(1)已知第一人取到黄球,第二个人取到黄球的概率;(2)第二个人取到黄球的概率。解 设,因此有(1)第一个人取到黄球后,袋中球总数为49个,其中黄球19个,这时第二个人取到黄球的概率为.(2)由于的发生是基于第一人取球情况来考虑的,而第一人取球所有的可能结果是取到黄球和取到白球两种,故“第二个人取到黄球”分为“第一人取到黄球,第二人取到黄球”和“第一人取到白球,第二人取到黄球”两种情况,所以有比较(1)和(2)的结果,显然,在第一人取球情形已知和未知两种条件下,第二人取到黄球的概率是不相同的.6. 在12件产品中,已知有7件是正品,5件是次品,从中任意取3次,每次取一件,取后不放回,求第1次取到正品,第2次取到次品,第3次又取到正品的概率。解 设 =第 次取到正品,=第 次取到次品 (,2,3)。第1次取到正品的概率为 。在已知第1次取到正品的条件下,第2次取到次品的概率为 。在已知第1次取到正品、第2次取到次品的条件下,第3次取到正品的概率为 。所以,用乘法公式就可以求得第1次取到正品、第2次取到次品、第3次又取到正品的概率为 。7.据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:P(A)=P孩子得病=0.6,P (B|A)=P母亲得病|孩子得病=0.5,P (C|AB)=P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解:所求概率为P (AB)(注意:由于“母病”,“孩病”,“父病”都是随机事件,这里不是求P (|AB)。P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.60.5=0.3, P (|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6,从而P (AB)= P (AB) P(|AB)=0.30.6=0.18.7某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?解:记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意:第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。 如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下,求H再发生的概率。
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