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学 海 无 涯 试卷第!异常的公式结尾异常的公式结尾页,总 2 页 1 1已知函数( ) 22 2 x f xexax=+. (1)当2a =时,求函数( )f x的极值; (2)若( )( ) 2 2g xf xx=+,且( )0g x 恒成立,求实数a的取值范围. 2已知函数 2 ( )lnf xxmx=, 2 1 ( ) 2 g xmxx=+,mR,令( )( )( )F xf xg x=+. (1)当 1 2 m =时,求函数( )f x的单调递增区间; (2)若关于x的不等式( )1F xmx恒成立,求整数m的最小值; 3已知函数)2(sin)( 2 eaaxxexf x +=,其中Ra, =71828. 2e为自然对数 的底数. (1)当0=a时,讨论函数)(xf的单调性; (2)当1 2 1 a时,求证:对任意的), 0 +x,0)(xf. 4已知函数( )ln2 x m f xex =. (1)若1m =,求函数( )f x的极小值; (2)设2m,证明:( )ln20f x +. 5已知函数( )ln, ( ) x x f xxax g x e =,其中aR且0a ,e为自然常数. (1)讨论( )f x的单调性和极值; (2)当1a =时,求使不等式( )( )f xmg x恒成立的实数m的取值范围. 6已知函数 2 ( )ln1f xxxax=+,且(1)1 f =. (1)求( )f x的解析式; (2)证明:函数 2 ( )exyf xxx=+的图象在直线1yx= 的图象下方. 7已知函数( )( ) 32 1ln 1, 3 x f xxexmxg x x =+=. (1) 函数( )f x在点( )()1,1f处的切线与直线()1 240e xy+=平行, 求函数( )f x 的单调区间; (2) 设函数( )f x的导函数为( ) fx, 对任意的() 12 ,0,x x +, 若( )() 12 g xfx恒 成立,求m的取 值范围. 8设函数( )ln (0)f xxx x= 学 海 无 涯 试卷第!异常的公式结尾异常的公式结尾页,总 2 页 2 ()求函数 )(xf 的单调区间; ()设,)R( )()(F 2 +=axfaxx)(F x是否存在极值,若存在,请求出极值;若不 存在,请说明理由; ()当0 x 时,证明:1)(+xfex 9 (本小题满分 12 分)已知函数 2 (1) ( )ln 2 x f xx = ()求函数( )f x的单调递增区间; ()证明:当1x 时,( )1f xx; ()确定实数k的所有可能取值,使得存在 0 1x ,当 0 (1,)xx时,恒有 ()( )1f xk x 10 (本题满分 14 分)设函数)0(ln)(=xxxxf ()求函数)(xf的单调区间; ()设,)R( )()(F 2 +=axfaxx)(F x是否存在极值,若存在,请求出极值;若不 存在,请说明理由; ()当0 x时证明:1)(+xfe x 学 海 无 涯 答案第!异常的公式结尾异常的公式结尾页,总 12 页 1 参考答案参考答案 1 (1)函数( )f x极小值为( )01f= ,无极大值; (2)(0,2e. 【解析】 试题分析: (1)当2a =时,( )( ) 222 2,222 xx f xexxfxex=+ =+,通过二次求导可知 函数( ) 2 222 x fxex=+在R上单调递增, 且( ) 00f=, 所以当0 x 时( )0fx , 当0 x 时,( )0fx 因此函数( )f x在区间(),0上单调递减,在区间()0,+上单调递增,所以( )f x的极小值点为 ( )0f , 无极大值点;(2) 对函数( )g x求导可得( ) 2 2 x gxea=, 分0a 和0a 讨论, 显然0a 时,( )0gx , 函数( )g x在R上单调递增, 研究图象可知一定存在某个 0 0 x , 使得在区间() 0 ,x 上函数 2x ye=的图象在函数yax=的图象的下方,即 2x eax不恒成立,舍去;当0a 时,函数 ( )g x 在 区 间 1 ,ln 22 a 上 单 调 递 减 , 在 区 间 1 ln, 22 a + 上 单 调 递 增 , ( )min 1 ln0 22 a g xg = ,解得02ae. 试 题 解 析 :( 1 ) 函 数( ) 22 2 x f xexax=+的 定 义 域 是R, 当2a =时 , ( )( ) 222 2 222 xx f xexxfxex=+ =+,易知函数( ) 2 222 x fxex=+的定义域是R 上单调递增函数,且( ) 00f=,所以令( )0fx ,得0 x ;令( )0fx ,得0 x ,所以函数 ( )f x在区间(),0 上单调递减,在区间()0,+上单调递增.所以函数( )f x极小值为( )01f= , 无极大值. (2)( )( ) 22222 222 xx g xf xxexaxxeax=+=+ +=,则( ) 2 2 x gxea=. 当0a 时,( )0gx 恒成立,所以函数( )g x在R上单调递增, 且数形结合易知,一定存在某个 0 0 x ,使得在区间() 0 ,x上, 函数 2x ye=的图象在函数yax=的图象的下方,即满足 2x eax的图象即( )0g x . 所以( )0g x 不恒成立,故当0a 时,不符合题意,舍去; 学 海 无 涯 答案第!异常异常的公式结尾的公式结尾页,总 12 页 2 当0a 时,令( )0gx ,得 1 ln 22 a x ;( )0gx ,得 1 ln 22 a x ; 所以函数( )g x在区间 1 ,ln 22 a 上单调递减,在区间 1 ln, 22 a + 上单调递增. 所以函数( )g x定义域R上的最小值为 1 ln 22 a g . 若( )0g x 恒成立,则需满足 1 ln0 22 a g ,即 ln 2 1 ln0 22 a a ea, 即 1 ln0 222 aa a ,即1 ln0 22 aa . 又因为0a ,所以1 ln00 2 a ,解得2ae,所以02ae. 综上,实数a的取值范围是(0,2e. 考点:利用导数研究函数的单调性及极值、最值. 【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值,考查了分类讨论、数相结合的数 学思想, 属于难题.本题第一问研究函数的极值, 通过二次求导得到导函数的最小值说明( )f x的单调性, 来判断极值点的情况;第二问是本题解答的难点,把( )0g x 恒成立转化为求函数( )g x的最小值,按 照a的符号进行讨论, 来判断( )g x的单调性, 当0a 时,( )g x单调递增, 通过找反例排除, 当0a 时,求出函数( )gx零点,判断其单调性,求出其最小值,建立不等式求解. 2 (1)(0,1); (2)最小值为2 【解析】 试题分析: (1)当 1 2 m =时,对( )f x求导求其单调增区间; (2)先化简( )1F xmx为 ( )10F xmx+ ,恒成立问题,转化为求( )( )(1)G xF xmx=的最大值来求解. 试题解析: (1) 2 1 ( )ln 2 f xxx=,0 x , 2 11 ( ) x fxx xx =, (0 x ). 由 ( ) 0fx 得 2 10 x又0 x ,所以01x,所以( )f x的单增区间为(0,1). (2)令 2 1 ( )( )(1)ln(1)1 2 G xF xmxxmxm x=+. 所以 2 1(1)1 ( )(1) mxm x G xmxm xx + =+= 学 海 无 涯 答案第!异常的公式结尾异常的公式结尾页,总 12 页 3 当0m时,因为0 x ,所以 ( ) 0G x 所以( )G x在(0,)+上是递增函数, 又因为 3 (1)20 2 Gm= +. 所以关于x的不等于( )1G xmx不能恒成立. 当0m时, 1 ()(1) ( ) m xx m G x x + = . 令 ( ) 0G x =得 1 x m =,所以当 1 (0,)x m 时, ( ) 0G x ;当 1 (,)x m +时, ( ) 0G x , 因此函数( )G x在 1 (0,)x m 是增函数,在 1 (,)x m +是减函数. 故函数( )G x的最大值为 11 ()ln 2 Gm mm =. 令 1 ( )ln 2 h mm m =,因为 1 (1)0 2 h=, 1 (2)ln20 4 h=. 又因为( )h m在(0,)m+上是减函数,所以当2m时,( )0h m , 所以整数m的最小值为 2. 考点:1.导数与单调性;2.分类讨论的数学思想;3.恒成立问题 【思路点晴】本题第一问是基本的求单调区间问题,只需按求函数单调性的方法来求解就可以.第二问是恒 成 立 问 题 , 我 们 一 般 都 需 要 对 已 知 条 件 进 行 化 简 , 如 本 题 我 们 就 化 简( )1F xmx为 ( )10F xmx+ ,化简后右边为零,我们就可以转化为求( )( )(1)G xF xmx=的最大值来求解. 借助导数工具,判断函数大致图象并结合零点相关性质求解. 3 (1)函数)(xf在R上为减函数; (2)证明见解析. 【解析】 试题分析: (1)对函数)(xf求导,利用函数的单调性与导数的关系,得出函数)(xf的单调性; (2)对任 意的), 0 +x,0)(xf等价于对任意的), 0 +x, 2 sin20 xaxae+ ,再构造函数 eaaxxxg+=2sin)( 2 ,求导,利用导数,求出( )g x的最大值小于零. 试题解析:解: (1)当0=a时,)(sin)(exexf x =,Rx, ) 4 sin(2)cos(sin)(exeexxexf xx +=+= , 当Rx时,2) 4 sin(2+ x,0)( x f. )(xf在R上为减函数. 学 海 无 涯 答案第!异常的公式结尾异常的公式结尾页,总 12 页 4 (2)设eaaxxxg+=2sin)( 2 ,), 0 +x,axxxg2cos)(=, 令axxxgxh2cos)()(=,), 0 +x,则axxh2sin)(=, 当1 2 1 a时,), 0 +x,有0)( x h, )(xh在), 0 +上是减函数,即)(x g 在), 0 +上是减函数, 又01)0(=g,0 2 2 2 2 2 ) 4 ( = ax g, )(x g 存在唯一的) 4 , 0( 0 x,使得02cos)( 000 =axxxg, 当), 0( 00 xx 时,0)( x g,)(xg在区间), 0( 0 x单调递增; 当),( 00 + xx时,0)( x g,)(xg在区间),( 0 +x单调递减, 因此在区间), 0 +上eaaxxxgxg+=2sin)()( 2 000max , 02cos 00 = axx, 00 cos 2 1 x a x =,将其代入上式得 ea a xx a eax a xxg+=+=2 4 1 sinsin 4 1 2cos 4 1 sin)( 00 2 0 2 0max , 令 0 sin xt =,) 4 , 0( 0 x, 则) 2 2 , 0(t, 即有ea a tt a tp+=2 4 1 4 1 )( 2 ,) 2 2 , 0(t, )(tp的对称轴02 =at,函数)(tp在区间) 2 2 , 0(上是增函数,且1 2 1 a, )
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