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三、多维随机变量及其分布,随机变量 随机变量的分布函数的概念及性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布,考试内容,设X1,X2,Xn为定义在同一样本空间上的随机变 量,则称这n个随机变量的整体(X1,X2,Xn)为n维 随机变量(或n维随机向量).,(一)n维随机变量与联合分布函数,1.n维随机变量的定义,2.联合分布函数与边缘分布函数,设(X1,X2,Xn)为n维随机变量,则称Rn上的n元 函数,F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2, Xnxn) (x1,x2,xn)Rn,为n维随机变量(X1,X2,Xn)的联合分布函数.,n维随机变量(X1,X2,Xn)中每个变量Xi的分布 函数FX(xi)称为边缘分布函数,i=1,2, ,n.,3.联合分布函数与边缘分布函数之间的关系,设F(x,y)为联合分布函数,关于X和Y的边缘分布 函数分别为FX(x)和FY(y) ,则有,1. 联合概率分布 如果二维随机变量(X,Y)的每个分量X和Y都是离 散型的, 则称(X,Y)为二维离散型随机变量.,(二)二维离散型随机变量,(X,Y)的联合概率分布有两种表示:,2.联合概率分布,(1)设(X,Y)的一切可能值为,则称,为(X,Y)的联合分布律,或联合概率分布.,3. 联合概率分布的性质,(非负性),(归一性),4.边缘分布,(X,Y)的分量X和Y的分布律称为其边缘分布律.,它与联合分布的关系为,5.条件分布,对固定的j,若 则称,为X关于 的条件分布.,类似地,若 则称,为Y关于 的条件分布.,注:,(三)二维连续型随机变量,1.定义 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),如果存在 非负可积函数f(x,y),使得对任意实数x,y,有,则称(X,Y)为二维连续型随机变量,f(x,y)为其联合 密度函数.,2.联合密度函数的性质,(非负性),(归一性),x,y,f(x,y),二元概率密度函数f(x,y)从图形上看是在xoy平面上方的一个曲面, 包围着下方的体积为1.,3. 二维连续随机变量的性质,设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),密度函数为f (x,y), 则,(1) F(x,y)为二元连续函数; (2)对于任何平面曲线L,有 (3)对于平面区域D,有概率计算公式: (4)对于f(x,y)的连续点(x,y),有,4.边缘分布 设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则X和Y的分布函数 可表示为,分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘分布函数,而,分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘密度函数.,5.条件分布,对于给定的x,若fX(x)0,则称,为Y关于X=x的条件密度函数.,为X关于Y=y的条件密度函数.,类似地,若fY(y)0,则称,条件密度函数 同样满足密度函 数的所有性质.,注:,(四)随机变量的独立性,1.一般情形,设n维随机变量 的联合分布函数为,关于Xi 的边缘分布函数为,若对任意实数 有,则称随机变量 相互独立.,2.离散型,设 为n维离散型随机变量,若对 一切可能的值 有,则称随机变量 相互独立.,特殊:二维情形,3.连续型,设 为n维离散型随机变量,若对任意实数 有,其中 是联合密度,,为Xi 的边缘密度,,则称随机变量 相互独立.,特殊:二维情形,(五)随机变量函数的分布(重点),1.一般情形,随机变量Z为随机变量X,Y的函数,即Z=g(X,Y),则Z的分布函数为,2.离散型,已知,则Z的分布为,3.连续型,已知(X,Y)的密度函数为 f (x,y),Z=g(X,Y),则Z的 分布函数为,若Z任为连续型随机变量,则Z的密度函数为,4. X与Y的和、商与极值的分布,(1)和的分布,设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则Z=X+Y的密度函数为,当X,Y独立时,有卷积公式:,(2) 商的分布,设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则 的密度函数为,当X,Y独立时,有,(3)极值分布,当X,Y相互独立时,其分布函数分别为FX (x),FY(y), 则,的分布函数为,可推广为n个相互独立的随机变量:,若X与Y独立同分布?,(六)两个常见的二维分布,1.二维均匀分布,设(X,Y)的密度函数为,则,(X,Y)U(D).,性质:,设(X,Y)服从矩形域,上的均匀分布,则两个边缘分布都是均匀分布,即,XUa,b ,YUc,d,且两个条件分布也是均匀分布.,2.二维正态分布的性质:,(1)两个边缘分布为正态分布,(2) X与Y的线性组合仍服从正态分布,即,(任意两个正态分布的和不一定服从正态分布),两个边缘分布都是正态分布的二维随机变量 不一定服从二维正态分布,此时,,(4) X关于Y=y(Y关于X=x)的条件分布仍为正态分布:,注:当 时,两个条件分布就是相应的边缘分布.,几点注意:,1.几个常用的事件的关系,2.联合分布、边缘分布和条件分布的关系,联合分布,边缘分布和条件分布,此时,离散型:,连续型:,考点与例题分析,考点一:联合分布、边缘分布与条件分布的计算,考点二:利用已知分布求相关事件的概率,考点三: 随机变量的独立性,考点四:随机变量函数的分布,考点一:联合分布、边缘分布与条件分布的计算,利用联合分布与边缘分布之间的关系、概率 密度或分布律自身的性质如归一性等.,例1 同一品种的5个产品中, 有2个正品, 每次从中 取1个检验质量, 不放回地抽取, 连续2次.记“Xk=0” 表示第k次取到正品, 而“Xk=1”为第k次取到次品 (k=1,2). 写出(X1, X2)的联合分布律和边缘分布.,解 X1, X2可能取值均为0,1, 按乘法公式有,故联合分布律为,0.4,0.4,+,0.6,+,同理,,0.4 0.6,0.4,0.6,求边缘分布:因为,0.6,问随机变量X1, X2 独立吗?,不独立!,求例1的X1关于X2的 条件分布,PX1=0|X2=1=0.3/0.6=0.5, PX1=1|X2=1=0.5,由,PX1=0|X2=0=0.1/0.4=0.25,PX1=1|X2=0=3/4,0.4,0.6,0.4,0.6,由,例2 设随机变量XU(0,1),在X=x (01.,解 (1)依题意,有,在 时,X和Y的联合密度为,在其它点处,f (x,y)=0, 即,(2) 当0y1时,Y 的概率密度为,在其它点(x,y)处,,因此,(3),由图,考点二:利用已知分布求相关事件的概率,搞清楚随机变量所表示的事件,利用概率的基本 性质和重要公式以及常见分布的定义和性质求解.,记住几个常见分布,例3 设X和Y均服从 且,则,解,例4 设Xi(i=1,2)的分布律均为,(i=1,2),且满足 则,由表p12=1/4, p32=1/4,从而p22=0, 故,解 由 易知 即,Xi都不取零,列出联合分布律:,考点三: 随机变量的独立性,1.一般型:,2.离散型:,3.连续型:,例5 设二维随机变量,则,解 因(X,Y)服从二维正态分布,且,故X和Y相互独立,且,例6 设随机变量X和Y独立同分布,试证明,证明:设X和Y的分布函数为F(x)和F(y),密度函数为 f (x)和f (y),由独立性知X和Y的联合密度函数为f (x,y) =f (x) f (y),故,考点四:随机变量函数的分布,掌握利用分布律或分布函数的定义求解的方法.,求解时注意随机变量独立性的条件.,(重点和难点:求二维随机变量的函数的分布),注意处理分段多元函数的积分.,例7 将两封信随机地往编号为1,2,3,4的4个邮筒内 投. Xi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2). (1)写出(X1,X2)的联合分布及(X1,X2)中关于X1的边缘 分布;(2)两个邮筒内信的数目之和X1+X2的分布律.,解 (1) Xi所有可能取值:0,1,2.,试验共有42=16种不同的等可能结果:,上表计算出 的边缘分布,计算结果列于下表并计算X1的边缘分布,(2) 求X1+X2的分布律:所有可能取值0,1,2,3,4.,因此,X1+X2的分布律:,用斜线法计算 的分布律:,因此,例8(0713) 设二维随机变量(X1,X2)的概率密度为,求(1),(2)Z=X+Y的概率密度fZ(z).,解 (1),(2) 法1 先求Z的分布函数,如图,当 时,,当 时,,当 时,,当 时,,故,法2 利用卷积公式:,当 或 时,,当 时,,当 时,,故,例9 设随机变量X的概率分布为,令Y=X2,F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,,求(1)Y的概率密度fY(y);,解 (1)Y的分布函数为,当 时,,当 时,,(06134),当 时,,当 时,,故Y的概率密度,当 时,,当0 y1时,当1 y4时,另解:不需先求出分布函数的具体表达式,注意:,(因为X,Y 不独立),考研题与练习题,1.(02103) 设随机变量 且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为 则,应填4.,解 二次方程的判别式为42-4X4,依题意有,4,2.(08134) 设X,Y相互独立,X的概率分布为,Y的概率密度为,记Z=X+Y ,求,(1) (2)Z的概率密度.,考查:随机变量的独立性和全概公式.,解 (1)由于X,Y相互独立,于是,错解:,另解:,(没有过程),(X与Y不独立),(2) 先求Z的分布函数.由于,构成一个完备事件组,因此根据全概率公式得,故Z的概率密度,3.(08134)设随机变量X和Y独立同分布,分布函数 为F(X),则 的分布函数为,解 选A.,因X和Y独立同分布,设Z的分布函数为F(x).,一般地,考查:随机变量函数的分布、独立性,1.选B. 应注意到Z的分布函数是一元函数.,2.选C. 实际上这是minX,Y的答案.,错解:,4.(06134),设随机变量X和Y独立,且服从区间0,3上的均匀 分布,则,考查:独立性和均匀分布,5.(07134),若(X,Y)服从二维正态分布,则,考查:二维正态分布,独立性,不相关,二维概率密 度,边缘密度和条件密度,是一道综合题。,注:,
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