1.3 数量乘矢量,背景,牛顿力学,定义1.3.1 实数,与矢量,的乘积是一个矢量,记做,它的模是,的方向:,当,时与,相同,当,时与,反向.,我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法,简称为数乘.,时,当,就是矢量,的反矢量.,已知矢量,的单位向量,(与,同向,长度为1),记为,表示什么?,有时记,即有:,或,定理1.3.1 数量与矢量的乘法满足下面的运算规律:,1),2),3),4),数因子结合律,第一分配律,第二分配律,这里,是矢量，,是任意实数.,证明:,1) 由定义1.3.1, 等式两边的矢量显然相等.,2),分情况进行,当,或,中至少有一个为0时, 比如,那么就有,同时有,所以有,情形 I,情形 II,当,时,当,的方向都与,相同.,当,的方向都与,反向.,这说明,不论,的符号如何,的大小和方向都相同.,证毕.,v,v,v,v,因此,我们有,情形 3,(如图),O,A,B,A1,B1,A1,B1,注意:,所以,以后,矢量与数的运算可以象多项式运算一样进行.,例如,利用数乘矢量的概念和运算律,可以解决一些几何问题.,例1.设AM是三角形ABC的中线,求证:,例2.用矢量方法证明：连结三角形两边中点的线 段平行于第三边且等于第三边的一半。,作业: 第13页, 1.(1);（3）;（5）. 2.(1);(3),