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学而思网校 www.xueersi.com第 - 1 - 页 共 3 页第 3 课时 等比数列1 等比数列的定义: )( q(q 为不等于零的常数) 2 等比数列的通项公式: ana 1qn1 ana mqnm 3 等比数列的前 n 项和公式:Sn )1(4等比中项:如果 a,b ,c 成等比数列,那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项,即 b2 (或 b ) 5 等比数列a n的几个重要性质: m,n,p ,qN *,若 mnpq ,则 Sn 是等比数列a n的前 n 项和且 Sn0,则 Sn,S 2nS n,S 3nS 2n 成 数列 若等比数列a n的前 n 项和 Sn 满足S n是等差数列,则a n的公比 q 例 1. 已知等比数列a n中,a 1a n66,a 2an1 128,S n126,求项数 n 和公比 q 的值解:a n是等比数列, a 1ana 2an1 , 86,解得 6421na或 1n若 a12 ,a n64,则 2qn1 64q n32q由 Sn 261)3(2)(1q,解得 q2 ,于是 n6若 a164,a n2,则 64qn1 2q n 3由 Sn 126)3(641)(qqan解得 q 2,n6变式训练 1.已知等比数列a n中,a 1a964,a 3a 720,则 a11 解:64 或 1 由 2064739a206473或 1 q2 1或 q22, a11a 7 q2, a1164 或 a111例 2. 设等比数列a n的公 比为 q(q0),它的前 n 项和为 40,前 2n 项和为 3280,且前 n 项 中数值最大项为 27,求数列的第 2n 项典型例题基础过关学而思网校 www.xueersi.com第 - 2 - 页 共 3 页解:若 q1 ,则 na140 ,2na 13280 矛盾, q1 32801)(4qan两式相除得:q n81,q 1 2a1又q0, q1,a 10 an是递增数列 an27a 1qn1 128解得 a11 ,q3,n4 变式训练 2.已知等比数列a n前 n 项和 Sn2 n1,a n2前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式解:( 1) a 12a 220 ,公比 q 1a又S 4S 2 8,将 q 1代入上式得 a11,a na 1qn 1 ( 2) n1 (nN *)(2) an 6( ) n1 ( )4 n5原不等式的解为 n1 或 n3 或 n5 例 3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四 个数解:设这四个数为 ad,a ,ad, ad2)(依题意有: 126)(2da解得: 4 或 69 这四个数为 0,4,8 ,16 或 15,9,3 ,1变式训练 3.设 nS是等差数列 na的前 项和, 663,24,1()nnSS,则 n等于( )A. 15 B. 16 C. 17 D. 18答案: D。解析:由 6324,1nnS得 12345180nnnaa,再由61()32,6, 324,8nnaSa。 例 4. 已知函数 f(x)(x 1) 2,数列a n是公差为 d 的等差数列,数列b n是公比为 q 的等比数列(q1),若 a1f(d1) ,a 3 f(d1),b 1f(q1),b 3 f(q1),(1) 求数列a n,b n的通项公式;学而思网校 www.xueersi.com第 - 3 - 页 共 3 页(2) 设数列c n对任意的自然数 n 均有: 121)(nnabcbc ,求数列c n前 n 项和 Sn解:(1) a1 (d 2) 2,a 3d 2, a3a 12d即 d2 (d2) 22d,解之得 d2a 10 ,a n2(n 1)又 b1 (q2) 2,b 3q 2,b 3b 1q2即 q2 (q2) 2 q2,解之得 q3b 11,b n3 n1(2) 14,)( ncaCSn C1 C2C 3C n4(1323 133 2n3 n1 )设 n1323 33 2n3 n13 S13123 233 3 n3 n2 n133 23 33 n1 n3 n 2)13(3 n n4 nSS n2n3 n3 n1变式训 练 4.已知等差数列a n的首项 a11 ,公差 d0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列b n的第二项,第三项,第四项求数列a n与 bn的通项公式;设数列c n对任意正整数 n,均有 1321 nabcbc,求 c1c 2c 3c 2007 的值解:由题意得(a 1d)(a 113d)(a 14d) 2(d0) 解得 d2,a n2n 1 ,b n3 n1 当 n1 时, c13 当 n2 时, ,nnabc )(31c 故 2c2206712207 3c 1在等比数列的求和公式中,当公比 q1 时,适用公式 Sn qan1)(,且要注意 n 表示项数;当 q1 时,适用公式 Snna 1;若 q 的范围未确定时,应对 q1 和 q1 讨论求和2在等比数列中,若公比 q 0 且 q1 时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项3若有四个数构成的函数,前 三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设这四个数,一般是设为 xd,x,x d, x2)(再依题意列出方程求 x、d 即可4 a1 与 q 是等比数列a n中最活跃的两个基本量归纳小结
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