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决战2020年中考数学九年级三轮冲刺:相似综合(四)1如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O有直角MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转MPN,旋转角为(090),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G(1)求四边形OEBF的面积;(2)求证:OGBDEF2;(3)在旋转过程中,当BEF与COF的面积之和最大时,求AE的长2(1)如图1所示,在RtABC中,ACB90,ACBC,点D在斜边AB上,点E在直角边BC上,若CDE45,求证:ACDBDE(2)如图2所示,在矩形ABCD中,AB4cm,BC10cm,点E在BC上,连接AE,过点E作EFAE交CD(或CD的延长线)于点F若BE:EC1:9,求CF的长;若点F恰好与点D重合,请在备用图上画出图形,并求BE的长3如图,O为正方形ABCD对角线的交点,E为AB边上一点,F为BC边上一点,EBF的周长等于BC的长(1)若AB12,BE3,求EF的长;(2)求EOF的度数;(3)若OEOF,求的值4如图,矩形OABC的顶点O、A、C都在坐标轴上,点B的坐标为(8,3),M是BC边的中点(1)求出点M的坐标和COM的周长;(2)若点Q是矩形OABC的对称轴MN上的一点,使以O、M、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,求出符合条件的点Q的坐标;(3)若P是OA边上一个动点,它以每秒1个单位长度的速度从A点出发,沿AO方向向点O匀速运动,设运动时间为t秒是否存在某一时刻,使以P、O、M为顶点的三角形与COM相似或全等?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由5感知:如图,在四边形ABCD中,ABCD,B90,点P在BC边上,当APD90时,可知ABPPCD(不要求证明)探究:如图,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当BCAPD时,求证:ABPPCD拓展:如图,在ABC中,点P是边BC的中点,点D、E分别在边AB、AC上若BCDPE45,BC6,CE4,则DE的长为 6在ABC中,ACB90,BE是AC边上的中线,点D在射线BC上发现:如图1,点D在BC边上,CD:BD1:2,AD与BE相交于点P,过点A作AFBC,交BE的延长线于点F,易得的值为 解决问题:如图2,在ABC中,ACB90,点D在BC的延长线上,AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P,DC:BC1:2求的值:应用:若CD2,AC6,则BP 7在ABC中,ACB90,AB25,BC15(1)如图1,折叠ABC使点A落在AC边上的点D处,折痕交AC、AB分别于Q、H,若SABC9SDHQ,则HQ (2)如图2,折叠ABC使点A落在BC边上的点M处,折痕交AC、AB分别于E、F若FMAC,求证:四边形AEMF是菱形;(3)在(1)(2)的条件下,线段CQ上是否存在点P,使得CMP和HQP相似?若存在,求出PQ的长;若不存在,请说明理由8【操作发现】如图(1),在OAB和OCD中,OAOB,OCOD,AOBCOD45,连接AC,BD交于点MAC与BD之间的数量关系为 ;AMB的度数为 ;【类比探究】如图(2),在OAB和OCD中,AOBCOD90,OABOCD30,连接AC,交BD的延长线于点M请计算的值及AMB的度数;【实际应用】如图(3),是一个由两个都含有30角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形,其中ACBDCE90,AD30且D、E、B在同一直线上,CE1,BC,求点A、D之间的距离9如图,在梯形ABCD中,ADBC,BC18,DBDC15,点E、F分别在线段BD、CD上,DEDF5AE的延长线交边BC于点G,AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H(1)求证:BGCH;(2)设ADx,ADN的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)联结FG,当HFG与ADN相似时,求AD的长10已知在菱形ABCD中,AB4,BAD120,点P是直线AB上任意一点,联结PC在PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q(与B、D不重合),且PCQ30(1)如图,当点P在边AB上时,如果BP3,求线段PC的长;(2)当点P在射线BA上时,设BPx,CQy,求y关于x的函数解析式及定义域;(3)联结PQ,直线PQ与直线BC交于点E,如果QCE与BCP相似,求线段BP的长参考答案1解:(1)四边形ABCD是正方形,OBOC,OBEOCF45,BOC90,BOF+COF90,EOF90,BOF+COE90,BOECOF,在BOE和COF中,BOECOF(ASA),S四边形OEBFSBOE+SBOESBOE+SCOFSBOCS正方形ABCD11;(2)证明:EOGBOE,OEGOBE45,OEGOBE,OE:OBOG:OE,OGOBOE2,OBBD,OEEF,OGBDEF2;(3)如图,过点O作OHBC,BC1,OHBC,设AEx,则BECF1x,BFx,SBEF+SCOFBEBF+CFOHx(1x)+(1x)(x)2+,a0,当x时,SBEF+SCOF最大;即在旋转过程中,当BEF与COF的面积之和最大时,AE2解:(1)在RtABC中,ACB90,ACBC,AB45,ACD+ADC135,CDE45,ADC+BDE135,BDEACD,ACDBDE;(2)四边形ABCD是矩形,BC90,BAE+AEB90,AEF90,CEF+BEA90,BAECEF,BAECEF,BE:EC1:9,BEBC1cm,CE9cm,CF;如图所示,设BExcm,由得BAECEF,即,整理,得:x210x+160,解得:x12,x28,所以BE的长为2cm或8cm3解:(1)设BFx,则FCBCBF12x,BE3,且BE+BF+EFBC,EF9x,在RtBEF中,由BE2+BF2EF2可得32+x2(9x)2,解得:x4,则EF9x5;(2)如图,在FC上截取FMFE,连接OM,CEBF的周长BE+EF+BFBC,则BE+EF+BFBF+FM+MC,BEMC,O为正方形中心,OBOC,OBEOCM45,在OBE和OCM中,OBEOCM,EOBMOC,OEOM,EOB+BOMMOC+BOM,即EOMBOC90,在OFE与OFM中,OFEOFM(SSS),EOFMOFEOM45(3)证明:由(2)可知:EOF45,AOE+FOC135,EAO45,AOE+AEO135,FOCAEO,EAOOCF45,AOECFO,AEOC,AOCF,AOCO,AECFCF,4解:(1)四边形OABC是矩形,CBOACBOA,B点坐标为(8,3),M为BC中点,M点坐标为(4,3),0CAB3,CMBC4,在RrOMC中,C90,OM5,OMC的周长OM+CM+CO3+4+512,点M的坐标为(4,3),OMC的周长为12(2)如图,分情况讨论:当四边形是以OC,OM为边的平行四边形COMQ,则MQOC,MQOC3,此时Q点坐标为(4,6),当四边形是以OC,CM为边的平行四边形COMQ,则Q点与对称轴MN与x轴的交点,此时Q点坐标为(4,0);当四边形是以OM,CM为边的平行四边形CMOQ,这时Q点不在对称轴MN上,不符合条件;综上所述,符合条件的点Q的坐标为(4,6),(4,0)(3)存在如图,由题意知MOP不可能等于90,分两种情况:当PMO90时,OMPMCO,OP,APOAOP,当MPO90时,OMPMOC,OPMC4,APOAOP844,综上所述,当t为4s或s时,OMP与MOC相似5解:感知:APD90,APB+DPC90,B90,APB+BAP90,BAPDPC,ABCD,B90,CB90,ABPPCD探究:APCBAP+B,APCAPD+CPD,BAP+BAPD+CPDBAPD,BAPCPDBC,ABPPCD,拓展:同探究的方法得出,BDPCPE,点P是边BC的中点,BPCP3,CE4,BD,BC45,A180BC90,即ACAB且ACAB6,ADABBD6,AEACCE642,在RtADE中,DE故答案是:6解:发现:如图1中,AFBC,FEBC,AEFBEC,AEEC,AEFCEB(AAS),AFBC设CDk,则DB2k,AFBC3k,由AFBC可得APFDPB,即可得到故答案为:;解决问题:如图2中,过点A作AFDB,交BE的延长线于点F,如图,设DCk,由DC:BC1:2得BC2k,DBDC+BC3kE是AC中点,AECEAFDB,F1在AEF和CEB中,AEFCEB,EFBE,AFBC2kAFDB,AFPDBP,当CD2时,BC4,AC6,ECAC3,EB5,EFBE5,BF10(已证),BPBF106故答案为6
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