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第 1 页,共 17 页 2020 年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标) 题号 一二三总分 得分 一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. 已知集合,则中元素的个数为( ) A. 2B. 3C. 4D. 5 2. 若,则( ) A. B. C. D. 3. 设一组样本数据的方差为 0.01,则数据的方差为( ) A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10 4. Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据 建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数( 的单位:天)的 Logistic 模型: ,其中 为最大确诊病例数.当时,标志着已初步遏制 疫情,则约为( )(In193) A. 60B. 63C. 66D. 69 5. 已知,则( ) A. B. C. D. 6. 在平面内,是两个定点, 是动点,若,则点 的轨迹为( ) A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线 7. 设 为坐标原点,直线与抛物线交于两点,若, 则 的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 8. 点到直线距离的最大值为( ) A. 1B. C. D. 2 9. 右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A. B. C. D. 10.设 ,则( ) 第 2 页,共 17 页 A. B. C. D. 11.在 中,则( ) A. B. 2C. 4D. 8 12.已知函数 ,则( ) A. 的最小值为 2B. 的图像关于 轴对称 C. 的图像关于直线对称D. 的图像关于直线对称 二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13.若 x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+2y 的最大值为_. 14.设双曲线 的一条渐近线为,则 的离心率为_. 15.设函数 ,若,则 a=_. 16.已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的切球表面积为 _ 三、解答题(本大题共 7 小题,共 82.0 分) 17.(12 分) 设等比数列满足, (1) 求的通项公式; (2) 记为数列的前 n 项和. 若,求 m. 18. (12 分) 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻 炼的人次,整理数据得到下表(单位:天): 锻炼人次 空气质量等级 0,200(200,400(400,600 1(优)21625 2(良)51012 3(轻度污染)678 4(中度污染)720 (1) 分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率; 第 3 页,共 17 页 (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值 (同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表); (3) 若某天的空气质量等级为 1 或 2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气 质量等级为 3 或 4,则称这天“空气质量不好”。根据所给数据,完成下面的 列联表, 并根据列联表, 判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与 该市当天的空气质量有关? 人次400人次400 空气质量好 空气质量不好 附:, 19. (12 分) 如图,在长方体中,在 , 分别在棱,上,且, ,证明: (1) 当时,; (2) 点在平面内. 第 4 页,共 17 页 20.(12 分) 已知函数. (1) 讨论的单调性; (2) 若有三个零点,求 的取值范围. 21. (12 分) 已知椭圆的离心率为分别为 的左、右顶点. (1) 求 的方程: (2) 若点 在 上,点 在直线上,且,求的面积 . 22. 选修 4-4: 坐标系与参数方程 (10 分) 在直角坐标系中,曲线 的参数方程为与 坐标轴交于两点. (1) 求: (2) 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方 程. 第 5 页,共 17 页 23. 选修 4-5: 不等式选讲 (10 分) 设 (1) 证明:; (2) 用中的最大值,证明: 第 6 页,共 17 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查了交集的运算,属于基础题. 【解答】 解:, , 中元素个数为 3. 故选 B. 2.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查复数的四则运算,共轭复数的概念,属于基础题. 先由复数的四则运算法则求出 ,再利用共轭复数的概念得到答案. 【解答】 解:由,得, 所以 zi, 故选 D. 3.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查方差的运算,是基础题. 【解答】 解:设 的平均数为 ,方差 第 7 页,共 17 页 所以 的平均数为 ,方差 , 故选 . 4.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查指数式与对数式的互化,属于基础题. 根据题意可得,解出 的值. 【解答】 解:由题可知, 所以, ,解得 故选 C. 5.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式,属于基础题. 根据两角和的正弦公式展开 ,再整理利用辅助角公式即可得答案. 【解答】 解: , = 得 故选: . 第 8 页,共 17 页 6.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了动点的轨迹问题及向量数量积的坐标运算,属一般题 根据题意建立平面直角坐标系,设出点 A、B、C 的坐标,得到和的坐标,由向量 数量积的坐标运算公式即得动点坐标所满足的方程,从而得到动点 C 的轨迹 【解答】 解 : 以 AB 所在直线为 x 轴, 线段 AB 的中垂线为 y 轴, 建立平面直角坐标系, 设 ,则,由题意, 得即,因此,动点 C 的轨迹是圆, 故选 A. 7.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质,基础题 根据直线 x=2 与抛物线交于 D、 E 两点, 确定 D、 E 两点坐标, 由 ODOE 可得 ,可确定 p 的值,从而得到抛物线的焦点坐标 【解答】 解:根据题意得 D(2,2p),E(2,-2p), 因为 ODOE,可得,所以 4-4p=0,故 p=1, 所以抛物线 C:y2=2x,所以抛物线的焦点坐标为( ,0). 故选 B 8.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查定点到过定点的直线的最大距离问题,属于基础题. 根据点到直线的距离和两点间的距离公式,即可求解. 【解答】 解:因为直线 y=k(x+1)恒过点(-1,0), 要使得点(0,1)到直线的距离最大, 此时点到直线的距离即为(0,1)与(-1,0)两点的距离, 第 9 页,共 17 页 此时最大距离为. 故答案选 B 9.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查由三视图求几何体的表面积,考查空间想象能力,难度一般. 先由三视图还原几何体,即可求出表面积. 【解答】 解:由三视图可知该几何体是底面为腰长 2 的等腰直角三角形,一侧棱长为 2 且垂直底 面的三棱锥,如下图 故其表面积为 故选 C. 10.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了对数比较大小,属于中档题. 分别将 c 转化为以 3,5 为底数,与 a,c 比较大小,即可得到结果. 【解答】 解:, , 故选 A. 第 10 页,共 17 页 11.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查解三角形,余弦定理的应用,注意三角形的形状即可. 【解答】 解:根据题意:,解得:AB=3 则;(负值舍去) 故. 故选 C 12.【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查三角函数的性质,属于中档题. 【解答】 解:A. 由于,故 A 错误; B. ,故 B 错误; C. , ,故 C 错误; D., 则的图象关于直线对称,故 D 正确, 故选 D. 13.【答案】7 【解析】【分析】 本题考查了根据线性规划求最值,属较易题 第 11 页,共 17 页 本题先根据线性约束条件画出平面区域,再利用图解法即可求出目标函数的最大值 【解答】 解:画出不等式组所表示的平面区域,如图所示 由得点 A 坐标为,由得点 B 坐标为, 即不等式所表示的平面区域为(包括边界), 再将化为,可看作斜率为,截距为 z 的一族平行直线, 由图可知,当直线经过点 A 时,截距 z 最大, 因此,当时, 故选答案为 7 14.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的简单几何性质,属于基础题。 根据渐近线方程,可得,再利用离心率公式即可求得结果。 【解答】 解:双曲线的渐近线为, 离心率 故答案为: 第 12 页,共 17 页 15.【答案】1 【解析】 【分析】 本题考查导数的运算,考查运算求解能力,属于较易题. 【解答】 解:,解得 故答案为 1. 16.【答案】 【解析】【分析】 本题考查圆锥的内切球问题以及球的体积公式,通过列方程进行求解即可. 【解答】 解: 如图,由题意可知, 圆锥内半径最大的球满足与底面相切于 ,与侧面相切于点 , 设球的半径为 ,则,且, 解得, 第 13 页,共 17 页 故. 故答案为. 17.【答案】解:(1)设等比数列的公比为 ,因为, , ; (2) 由(1) 可知,可判断出数列是以 0 为首项,1 为公差的等差 数列, , , 解得:或(舍去) 所以. 【解析】本题主要考查等比数列的通项公式,等差数列的判断及其前 项和公式,属基 础题. (1)根据等比数列的通项公式列出关于首项与公比的方程组,解得首项与公比,得到 通项公式; ( 2)由(1)可得数列的通项公式,从而判断出该数列为等差数列,利用等差 数列的求和公式列出关于的方程,求得的值即可. 18.【答案】解:(1)空气质量等级为 1 的概率为; 空气质量等级为 2 的概率为; 空气质量等级为 3 的概率为; 空气质量等级为 4 的概率为; (2) 一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为 第 14 页,共 17 页 ; (3) 人次人次 空气质量好3337 空气质量不好228 有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【解析】本题考查了独立性检验和古典概率,属于中档题. 19.【答案】证明:(1)因为是长方体,所以, 而,所以. 又,所以四边形为正方形,有, 又,平面,所以平面, 又平面,所以. (2) 取靠近的三等分点,连结, 因为 在上,且,所以,且, 所以四边形为平行四边形,所以. 又 在上,且,所以,且, 从而,所以四边形为平行四边形, 所以,所以,故四点共面,点在平面内. 【解析】本题考查了线面垂直的判定及性质,四点共面判定等知识,属中档题. (1)通过可得,四边形为正方形,有, 所以平面,进而可得. 第 15 页,共 17 页 (2)通过画辅助线,可证明四边形和四边形均为平行四边形,由平行传递 性可得,故四点共面,点在平面内. 20.【答案】解:(1)求导得,定义域为, 当时,在上单调递增; 当时,令得或,令得, 故函数在上单调递增,在上单调递减. (2)由(1)当时,在上单调递增,不符题意,故, 的极大值为,极小值为, 要使有三个零点,则 , ,即,解得. 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性,根据零点个数求参数问题,属较难题. 21.【答案】解:(1) , , , C 的方程为 . (2)由题:A(-5,0),B(5,0),设 Q(6,t),显然, 则,则, 则直线 BP 方程为:,联立, 化简得,解得, 第 16 页,共 17 页 , ,即, 代入,解得, 当时,Q(6,2),P(3,1), PQ 方程为:,点 A 到直线 PQ 的距离为, 则; 当时,Q(6,8),P(-3,1), PQ 方程为:,点 A 到直线 PQ 的距离为, 则, 根据对称性,时面积均为 , 综上:的面积为 . 【解析】 本题考查椭圆方程的求解,两点间距离公式,直线方程,点到直线距离公式的 综合
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